Tensor krzywizny Riemanna

Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela – najpowszechniejsza forma wyrażania krzywizny rozmaitości riemannowskich. Łączy tensor z każdym punktem na rozmaitości Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopień w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny może być także zdefiniowany dla rozmaitości pseudoriemannowskiej lub każdej rozmaitości wyposażonej w połączenie afiniczne.

Stanowi główne narzędzie matematyczne w ogólnej teorii względności, nowoczesnych teoriach grawitacji, krzywizny czasoprzestrzeni. Tensor krzywizny reprezentuje siły pływowe, których doświadcza sztywne ciało poruszające się wzdłuż linii geodezyjnej czasoprzestrzeni w sensie sprecyzowanym przez równanie Jacobiego.

Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii połączenia Leviego-Civity ${\displaystyle \nabla }$ przez formułę:

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w,}$

gdzie ${\displaystyle [u,v]}$ to nawias Liego pól wektorowych. Dla każdej pary wektorów stycznych ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle v,}$ istnieje liniowa transformacja ${\displaystyle R(u,v)}$ przestrzeni stycznej rozmaitości. Jest liniowa w ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v,}$ oraz definiuje tensor. Czasami tensor krzywizny jest zdefiniowany z przeciwnym znakiem.

Formułę powyższą można też wyrazić używając pojęcia drugiej pochodnej kowariantnej:

${\displaystyle \nabla _{u,v}^{2}w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{\nabla _{u}v}w,}$

która jest także liniowa w ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v.}$ Wówczas:

${\displaystyle R(u,v)=\nabla _{u,v}^{2}-\nabla _{v,u}^{2}.}$

Tensor krzywizny połączenia Levi-Civity mierzy więc nieprzemienność drugiej pochodnej kowariantnej. Jego nieznikanie stanowi przeszkodę dla istnienia izometrii z przestrzenią euklidesową (nazywaną w tym przypadku płaską).

Liniowa transformacja ${\displaystyle w\mapsto R(u,v)w}$ jest również nazywana transformacją (lub endomorfizmem) krzywizny.

Zobacz też

• Bernhard Riemann
• Elwin Bruno Christoffel
• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość riemannowska

Bibliografia

• A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN 1965.
• S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Volume 1, Interscience 1963.
• E. Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications 1991.
• R. M. Wald, General relativity, The University of Chicago Press 1984.

Ogólna teoria względności Równanie Einsteina Testy doświadczalne Koncepcje podstawowe Geometria Riemanna Ogólna teoria względności Linia świata Szczególna teoria względności Zasada równoważności ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$ Zjawiska Czarna dziura Efekt geodezyjny Efekt Lensego-Thirringa Fala grawitacyjna Horyzont zdarzeń Osobliwość grawitacyjna Problem Keplera Soczewkowanie grawitacyjne Równania Formalizm ADM Formalizm BSSN Grawitacja liniowa Grawitacyjna całka działania Parametryczny formalizm postnewtonowski Równania Friedmana Równanie Einsteina Teorie zaawansowane Grawitacja kwantowa Teoria Kaluzy-Kleina Metryki Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera Gödla Kasnera Kerra Kerra-Newmana Reissnera–Nordströma Schwarzschilda Uczeni Subramanyan Chandrasekhar Arthur S. Eddington Albert Einstein Aleksandr Friedman Stephen Hawking Roy P. Kerr Georges Lemaître Josef Lense Hermann Minkowski Roger Penrose Howard P. Robertson Karl Schwarzschild Hans Thirring