Teoria grup

Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, tj. przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami^[1], czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.

Zastosowania obejmują tak odległe dziedziny jak kryptografia czy genetyka, a nawet muzyka (przykładem może być konstrukcja gamy czy koło kwintowe) czy malarstwo (np. twórczość Mauritsa Cornelisa Eschera); jednak najczęściej jako przykłady zastosowań podaje się fizykę i chemię. W obu przypadkach wynika to z praktycznej interpretacji programu Kleina (zob. Rys historyczny), czyli, obrazowo rzecz ujmując, zachęty do wnioskowania o własnościach danego obiektu za pomocą przejawianych przez niego symetrii, przy czym traktowane są one jako przekształcenia geometryczne (a nie własności) obiektu, których zbiór z działaniami składania, odwracania i tożsamością tworzy grupę nazywaną grupą przekształceń (zob. działanie grupy na zbiorze).

W ten sposób bada się m.in. symetrie atomów, cząsteczek, struktur krystalicznych itp., ale również bardziej abstrakcyjnych struktur jak czasoprzestrzeń czy pola fizyczne. Zasadniczo twierdzenie Noether mówi, że z każdym prawem zachowania związana jest pewna symetria układu fizycznego: niezmienniczość układu ze względu na określone operacje prowadzi do zachowania odpowiednich własności i odwrotnie, pojawianie się niezmiennych w czasie wielkości wskazuje na istnienie dodatkowych symetrii w danym układzie^[a]. Ponadto formalizm matematyczny mechaniki kwantowej opiera się na teorii reprezentacji grup; wśród innych dziedzin fizyki i chemii intensywnie wykorzystujących teorię grup można wymienić fizykę cząstek elementarnych, spektroskopię czy fizykę ciała stałego, w tym krystalografię.

Rys historyczny

Początków teorii grup można upatrywać w badaniach nad rozwiązalnością równań algebraicznych. W XVI wieku Scipione del Ferro, a później w 1535 roku Niccolo Tartaglia, wskazali metodę rozwiązywania równań trzeciego stopnia. W 1540 roku Lodovico Ferrari odkrył metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań trzeciego stopnia; ukazały się one po raz pierwszy w dziele Ars Magna („Wielkie dzieło”) Girolama Cardana wydanym w 1545 roku^[2]. Naturalnym stało się pytanie o możliwość wskazania ogólnych wzorów opisujących rozwiązania równań algebraicznych wyższych stopni (równania pierwszego i drugiego stopnia rozwiązywano już w starożytności).

Jako pierwsi grupy (nie posługując się jeszcze ustaloną nazwą) rozważali Joseph Louis Lagrange i Paolo Ruffini, którzy przy rozwiązywaniu równań algebraicznych za pomocą pierwiastników (gdzie w istocie badali oni grupy przekształceń zmieniających porządek elementów zbiorów skończonych, tzw. grup permutacji). Ruffini przedstawił w 1799 roku twierdzenie o tym, że niektórych równań algebraicznych o rzędzie wyższym niż czwarty nie można rozwiązywać przez podanie wzorów podobnych do wzorów del Ferro/Tartaglii, czy Cardana. Złożoność, a później odkryte nieścisłości mogły przyczynić się do tego, iż początkowo wynik został zignorowany. Badania te były kontynuowane przez Nielsa Henrika Abela, który mając w 1824 roku jedynie 22 lata przedstawił rozumowanie dla ogólnych wielomianów – dlatego wynik ten znany jest dzisiaj jako twierdzenie Abela-Ruffiniego. Ostatecznie problem ten rozwiązał w 1830 roku niespełna osiemnastoletni Évariste Galois badając własności pewnej grupy o skończonej liczbie elementów (tzw. grupy rozwiązalnej), choć początkowo ich doniosłość została niezauważona, a jego teorie (zob. teoria Galois) doceniono dopiero w 18 lat po jego śmierci. To właśnie on jako pierwszy użył nazwy „grupa” (fr. groupe) odnosząc ją jednak do wspominanych wyżej grup permutacji (zob. działanie grupy na zbiorze). Charakteryzacje, które przedstawił, posłużyły następnie Arthurowi Cayleyowi w 1854 roku do zdefiniowania znanego dzisiaj, abstrakcyjnego pojęcia grupy^[3].

Teoria grup pojawiła się zupełnie niezależnie w geometrii jako metoda klasyfikacji różnorakich geometrii, które zaczęły zdobywać szersze uznanie z początkiem XIX wieku. Problem ustalenia związków między nimi rozwiązał w 1872 roku Felix Klein w Programie erlangeńskim, przyjmując za podstawę pojęcie grupy przekształceń. Trzecim źródłem pojęcia grupy jest teoria liczb. Carl Friedrich Gauss w swojej pracy Disquisitiones Arithmeticae („Rozważania arytmetyczne”) zajmuje się arytmetyką modularną, czyli pierścieniami ilorazowymi pierścienia liczb całkowitych, tzn. grupami addytywnymi i multiplikatywnymi pewnych pierścieni i ciał. Idee te nie były również obce Galois, od nazwiska którego pochodzi inna nazwa ciała skończonego, czyli „ciało Galois”. W 1884 roku Sophus Lie zaczął używać grup, dziś nazywanych grupami Liego, do rozwiązywania problemów analitycznych.

Naukowcy

• Joseph Louis Lagrange (1736–1813) – autor metody systematycznego wyprowadzania wzorów na miejsca zerowe wielomianów (rezolwenta); pionier użycia permutacji w algebrze;
• Paolo Ruffini (1765–1822) – współautor pierwszego dowodu nierozwiązywalności ogólnego równania 5. stopnia przez pierwiastniki;
• Niels Henrik Abel (1802–1829) – drugi, niezależny współautor twierdzenia Abela-Ruffiniego o wielomianach 5. stopnia;
• Évariste Galois (1811–1832) – autor kompletnej teorii rozwiązywalności wielomianów przez pierwiastniki; pionier teorii grup, teorii ciał i łączącej je teorii Galois;
• Richard Dedekind (1831–1916) – teoretyk grup, pierścieni i krat;
• Peter Sylow (1832–1918) – teoretyk grup skończonych;
• Marie Ennemond Camille Jordan (1838–1922) – autor podstawowego twierdzenia w teorii grup skończonych;
• Marius Sophus Lie (1842–1899) – twórca teorii grup i algebr Liego, zwanych też zbiorczo teorią Liego;
• Felix Klein (1849–1925) – teoretyk grup, twórca programu erlangeńskiego;
• William Burnside (1852–1927) – teoretyk grup skończonych; autor problemu, który czekał na rozwiązanie dekadami;
• Otto Ludwig Hölder (1859–1937) – teoretyk grup skończonych;
• Emil Artin (1898–1962) – badacz teorii grup i teorii Galois;
• Hans Julius Zassenhaus (1912–1991) – autor lematu Zassenhausa w teorii grup;
• John Griggs Thompson (1932–) – współautor kluczowego twierdzenia o rozwiązalności grup skończonych;

Zobacz też

• teoria pierścieni
• teoria modułów
• teoria ciał

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Grant Sanderson, Euler's formula with introductory group theory, kanał 3blue1brown, YouTube, 3 marca 2017 [dostęp 2021-03-14].