Test istotności dla wartości średniej populacji

Testy dla średniej to grupa testów statystycznych, służących do wnioskowania o wartości średniej w populacji, z której pochodzi próba losowa.

Hipotezę zerową i alternatywną oznaczamy w następujący sposób:

• H₀: μ = μ₀

Zakłada ona, że nieznana średnia w populacji μ jest równa średniej hipotetycznej μ₀

• H₁: μ ≠ μ₀ lub H₁: μ > μ₀ lub H₁: μ < μ₀

Jest ona zaprzeczeniem H₀, występuje w trzech wersjach w zależności od sformułowania badanego problemu.

Sprawdzianem hipotezy jest statystyka testowa, która jest funkcją wyników próby losowej. Postać funkcji testowej (tzw.statystyki) zależy od trzech okoliczności:

• rozkładu cechy w populacji
• znajomości wartości odchylenia standardowego w populacji
• liczebności próby

Biorąc pod uwagę powyższe okoliczności, założoną przez nas hipotezę możemy sprawdzić za pomocą trzech testów:

Znane odchylenie

Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(m,σ) o nieznanej średniej ${\displaystyle {\bar {x}}}$ i znanym odchyleniu standardowym σ, natomiast liczebność próby n jest dowolna, wtedy statystyka ma postać:

${\displaystyle Z={\frac {m-\mu _{0}}{\sigma }}{\sqrt {n}}}$

gdzie: m - średnia z próby

Jeżeli H₀ jest prawdziwa, to statystyka testowa Z ma rozkład asymptotycznie normalny.

Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z powyższego wzoru, oznaczamy jako z. Następnie porównujemy ją z wartością krytyczną testu z_α, którą możemy odczytać z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, uwzględniając poziom istotności α. Decyzję o odrzuceniu H₀ podejmujemy, jeżeli wartość statystyki znajduje się w obszarze krytycznym. Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, nie ma wtedy podstaw do odrzucenia H₀.

Nieznane odchylenie, duża próba

Jeżeli rozkład populacji jest dowolny, o nieznanej średniej μ i nieznanym odchyleniu standardowym σ, natomiast liczebność próby jest duża (np. n>30), wtedy statystyka ma postać:

${\displaystyle Z={\frac {m-\mu _{0}}{S}}{\sqrt {n}}}$

gdzie: m - średnia z próby, S - odchylenie standardowe z próby

Jeżeli H₀ jest prawdziwa, to statystyka testowa ma rozkład asymptotycznie normalny.

Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z powyższego wzoru, oznaczamy jako z. Następnie porównujemy ją z wartością krytyczną testu z_α, którą możemy odczytać z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego, uwzględniając poziom istotności α. Decyzję o odrzuceniu H₀ podejmujemy, jeżeli wartość statystyki znajduje się w obszarze krytycznym. Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, nie ma wtedy podstaw do odrzucenia H₀.

Nieznane odchylenie, mała próba

Jeżeli rozkład populacji jest normalny N(μ,σ), o nieznanej średniej μ i nieznanym odchyleniu standardowym σ, natomiast liczebność próby jest mała (np. n<30), wtedy statystyka ma postać:

${\displaystyle t={\frac {m-\mu _{0}}{S}}{\sqrt {n}}}$

gdzie: m - średnia z próby, S - odchylenie standardowe z próby

Jeżeli H₀ jest prawdziwa, to statystyka testowa ma rozkład t-Studenta o liczbie stopni swobody ν = n-1.

Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z powyższego wzoru, oznaczamy jako t. Następnie porównujemy ją z wartością krytyczną testu t_α, którą odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przy założonym poziomie istotności α oraz liczbie stopni swobody ν = n-1. Decyzję o odrzuceniu H₀ podejmujemy, jeżeli wartość statystyki znajduje się w obszarze krytycznym. Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, nie ma wtedy podstaw do odrzucenia H₀.

Zobacz też

• weryfikacja hipotez statystycznych,
• test statystyczny,
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki