Tożsamość Czebyszewa

Tożsamość Czebyszewa to następująca równość:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{i=1}^{n}b_{i}=n\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=i+1}^{n}(a_{i}-a_{k})(b_{i}-b_{k}).}$

Jej nazwa pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka Czebyszewa.

Jeżeli założyć, że ${\displaystyle (a_{i}-a_{k})(b_{i}-b_{k})\geqslant 0,}$ to otrzymuje się stąd następującą nierówność, zwaną często nierównością Czebyszewa:

${\displaystyle n\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\geqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{i=1}^{n}b_{i}.}$

W szczególności, nierówność Czebyszewa zachodzi, gdy ${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant \dots \geqslant a_{n}}$ oraz ${\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant b_{3}\geqslant \dots \geqslant b_{n}.}$

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa w rachunku prawdopodobieństwa