Topologia Vietorisa

Topologia Vietorisa – dla danej przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X,}$ topologia w rodzinie ${\displaystyle \mathrm {CL} (X)}$ złożonej ze wszystkich niepustych podzbiorów domkniętych ${\displaystyle X}$ (w hiperprzestrzeni przestrzeni ${\displaystyle X}$) zadana przez podbazę składającą się ze zbiorów postaci:

• ${\displaystyle \{K\in \mathrm {CL} (X)\colon K\subseteq U\},}$
• ${\displaystyle \{K\in \mathrm {CL} (X)\colon K\cap U\neq \varnothing \},}$

gdzie ${\displaystyle U}$ jest dowolnym zbiorem otwartym w ${\displaystyle X}$^[1]. Baza tej topologii składa się ze zbiorów postaci

${\displaystyle [U_{0},U_{1},\dots ,U_{n}]=\{K\in \mathrm {CL} (X)\colon K\subset U_{0},K\cap U_{i}\neq \varnothing \;\;{\mbox{dla}}\;i=1,\dots ,n\},}$

gdzie ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$ są otwartymi podzbiorami ${\displaystyle X.}$

Nazwa topologii pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka Leopolda Vietorisa.

Kwestia przynależności zbioru pustego do hiperprzestrzeni

Wyżej przedstawioną konstrukcję można przeprowadzić w taki sam sposób w przypadku gdy ${\displaystyle \mathrm {CL} (X)}$ oznacza rodzinę wszystkich zbiorów domkniętych w ${\displaystyle X,}$ tj. deklarując, by zbiór pusty był również elementem ${\displaystyle \mathrm {CL} (X)}$^[2]. Wówczas jest on punktem izolowanym w ${\displaystyle \mathrm {CL} (X)}$ z topologią Vietorisa ponieważ z otwartoci zbioru pustego wynika, że

${\displaystyle \{\varnothing \}=\{K\in \mathrm {CL} (X)\colon K\subseteq \varnothing \}.}$

Symbolem ${\displaystyle 2^{X}}$ (zob. kwestię oznaczeń) oznacza się podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {CL} (X)}$ złożoną z niepustych podzbiorów zwartych przestrzeni ${\displaystyle X}$^[3], chociaż niektórzy autorzy symbol ten rezerwują do wyżej zdefiniowanej przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {CL} (X)}$^[2][4].

Związek z metryką Hausdorffa

Jeśli ${\displaystyle (X,d)}$ jest przestrzenią metryczną a ${\displaystyle d_{H}}$ jest metryką Hausdorffa na ${\displaystyle 2^{X}}$ związaną z metryką ${\displaystyle d,}$ to topologia Vietorisa jest zgodna z metryką Hausdorffa.

Wynika stąd następujący wniosek:

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest metryzowalna, to topologia Vietorisa na ${\displaystyle 2^{X}}$ też jest metryzowalna.

Własności

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest ośrodkowa, to ${\displaystyle \mathrm {CL} (X)}$ też jest ośrodkowa. Istotnie, jeśli ${\displaystyle D\subset X}$ jest przeliczalnym gęstym podzbiorem ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle \{K\in \mathrm {CL} (X):K\subset D,K}$ jest skończony ${\displaystyle {}\!\!\}}$ jest przeliczalnym gęstym podzbiorem ${\displaystyle \mathrm {CL} (X).}$
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest metryzowalna w sposób zupełny, to ${\displaystyle 2^{X}}$ też jest metryzowalna w sposób zupełny.
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest zwarta, to ${\displaystyle \mathrm {CL} (X)=2^{X}}$ też jest zwarta.
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest zerowymiarowa, to ${\displaystyle 2^{X}}$ też jest zerowymiarowa.
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią homeomorficzną ze zbiorem Cantora, to ${\displaystyle 2^{X}}$ też jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora.
• Przestrzeń ${\displaystyle \mathrm {CL} ([0,1]\times \mathbb {R} )}$ zawiera homeomorficzną kopię przestrzeni ${\displaystyle C[0,1].}$ Istotnie, dla każdych dwóch funkcji ${\displaystyle f,g\in C[0,1]}$ mamy ${\displaystyle d_{H}(G_{f},G_{g})=\Vert f-g\Vert _{\sup },}$ gdzie ${\displaystyle G_{f}}$ i ${\displaystyle G_{g}}$ to wykresy funkcji odpowiednio ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g.}$

Zobacz też

• topologia Fella

Przypisy

Bibliografia

• Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, s. 156, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-94374-9.
• Ryszard Engelking: General Topology. T. 6. Berlin: Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, 1989. ISBN 3-88538-006-4. OCLC 20464424.
• Takemi Mizokami, Norihito Shimane: Hyperspaces (b-6). W: red. K.P. Hart, J. Nagata, J.E. Vaughan: Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 2004, s. 49–52. ISBN 978-0-444-50355-8. OCLC 4934231474.
• A. Illanes, S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances, „Pure and Applied Mathematics”, Marcel Dekker, Inc., New York, 1999.
• S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, „Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math.”, Vol. 49, Marcel Dekker, Inc., New York, N.Y., 1978.