Topologia ilorazowa

Topologia ilorazowa – w topologii, dziale matematyki, najbogatsza topologia^[a] określona na zbiorze ilorazowym, wyznaczonym przez relację równoważności określoną na danej przestrzeni topologicznej, względem której odwzorowanie ilorazowe^[b] jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali jako pierwsi Robert Lee Moore^[1] oraz Paweł Aleksandrow^[2].

Definicje

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś ${\displaystyle \sim }$ oznacza pewną relację równoważności określoną na ${\displaystyle X.}$ Niech ${\displaystyle \pi \colon X\to X/_{\sim }}$ oznacza odwzorowanie ilorazowe zbioru ${\displaystyle X}$ w zbiór ilorazowy ${\displaystyle X/_{\sim }}$ dane wzorem ${\displaystyle x\mapsto [x]_{\sim }}$ nazywane też naturalnym przekształceniem ilorazowym bądź krótko przekształceniem naturalnym.

Rodzinę zbiorów

${\displaystyle \tau /_{\sim }={\bigl \{}U\subseteq X/_{\sim }\colon \pi ^{-1}(U)\in \tau {\bigr \}},}$

tworzącą topologię w zbiorze ${\displaystyle X/_{\sim },}$ nazywa się topologią ilorazową przestrzeni ${\displaystyle (X,\tau )}$ względem relacji ${\displaystyle \sim ,}$ z kolei zbiór ${\displaystyle X/_{\sim }}$ z topologią ilorazową ${\displaystyle \tau /_{\sim }}$ nazywa się przestrzenią ilorazową ${\displaystyle (X/_{\sim },\tau /_{\sim }).}$

Jeżeli ${\displaystyle A\subseteq X}$ oraz relacja ${\displaystyle \sim }$ utożsamia ze sobą punkty zbioru ${\displaystyle A,}$ tzn. ${\displaystyle x,y\in X}$ jest ${\displaystyle x\sim y\iff x=y\lor x,y\in A,}$ to przestrzeń ilorazową ${\displaystyle X/_{\sim }}$ nazywa się przestrzenią otrzymaną z ${\displaystyle X}$ przez sklejenie zbioru ${\displaystyle A}$ do punktu i oznacza symbolem ${\displaystyle X/A.}$

Własności

Niech ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz ${\displaystyle \sim }$ będzie relacją równoważności w zbiorze ${\displaystyle X.}$ Wówczas

• zbiór ${\displaystyle F}$ jest domknięty w przestrzeni ilorazowej ${\displaystyle X/_{\sim }}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \pi ^{-1}(F)}$ jest domkniętym podzbiorem ${\displaystyle X;}$
• przekształcenie ${\displaystyle f\colon X/_{\sim }\to Y}$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie ${\displaystyle f\circ \pi \colon X\to Y}$ jest ciągłe;
• jeżeli ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są przestrzeniami Hausdorffa, zaś ${\displaystyle g\colon X\to Y}$ takim ciągłym i odwzorowaniem „na”, że ${\displaystyle g(x)=g(y)\iff x\sim y}$ oraz dla pewnego zbioru zwartego ${\displaystyle K\subseteq X}$ jest ${\displaystyle \pi (K)=X/_{\sim },}$ to odwzorowanie ${\displaystyle f\colon X/_{\sim }\to Y}$ dane wzorem ${\displaystyle f([x]_{\sim })=g(x)}$ jest homeomorfizmem.

Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest domkniętym podzbiorem zwartej podprzestrzeni ${\displaystyle X}$ przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ to przestrzeń ${\displaystyle X/A}$ można zanurzyć w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1};}$ bez założenia o zwartości można wskazać takie zbiory ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle A,}$ dla których przestrzeń ${\displaystyle X/A}$ jest niemetryzowalna.

Przykłady

Przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ określona na prosta rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (z naturalną topologią euklidesową) i rozumiana jako grupa ilorazowa grupy liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ przez podgrupę liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$^[c] jest tożsama z przestrzenią ${\displaystyle \mathbb {R} /_{\backsim }}$ wyznaczoną przez relację równoważności ${\displaystyle \backsim }$ zdefiniowaną dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ warunkiem ${\displaystyle a\backsim b\iff a-b\in \mathbb {Z} .}$ Jest ona homeomorficzna z okręgiem jednostkowym ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}}$ na płaszczyźnie euklidesowej^[d].

Przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbf {Z} }$ określona na ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (z topologią jw.) poprzez sklejenie podzbioru liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ jest różna od wyżej opisanej przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$: przestrzeń ta jest homeomorficzna z nieskończonym bukietem okręgów sklejonych w pojedynczym punkcie i powstaje z wykorzystaniem relacji równoważności ${\displaystyle \sim }$ zdefiniowanej dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ warunkiem ${\displaystyle x\sim y\iff x=y\lor x,y\in \mathbf {Z} .}$

Zobacz też

• topologia produktowa
• topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 122–123.