Topologia podprzestrzeni

Topologia podprzestrzeni – topologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś ${\displaystyle Y}$ będzie podzbiorem zbioru ${\displaystyle X.}$ Topologia podprzestrzeni ${\displaystyle Y}$ indukowana z przestrzeni ${\displaystyle X}$ to rodzina ${\displaystyle \tau _{Y}=\{U\cap Y:U\in \tau \}.}$

Łatwo się sprawdza że ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$ jest przestrzenią topologiczną. Często zamiast mówić ${\displaystyle Y}$ z topologią podprzestrzeni ${\displaystyle X}$ mówi się po prostu podprzestrzeń ${\displaystyle Y}$.

Przykłady

• Jeśli w zbiorze liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ z topologią naturalną rozważymy zbiór liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} }$ z topologią podprzestrzeni, to stanie się on przestrzenią dyskretną. Natomiast zbiór liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ z topologią podprzestrzeni nie jest przestrzenią dyskretną – ta przestrzeń nie ma nawet punktów izolowanych.
• Jeśli ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ (z topologią naturalną), a ${\displaystyle Y=[0,2),}$ to zbiór ${\displaystyle [0,1)}$ jest otwarty w ${\displaystyle Y,}$ ale nie w ${\displaystyle X.}$

Charakteryzacja i własności

Topologia podprzestrzeni ma następujące własności. Przypuśćmy, że ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią topologiczną a ${\displaystyle Y}$ jest jej podprzestrzenią.

• Niech ${\displaystyle i\colon Y\longrightarrow X}$ będzie zanurzeniem identycznościowym. Wówczas dla dowolnej przestrzeni topologicznej ${\displaystyle Z}$ i funkcji ${\displaystyle f\colon Z\to Y,}$ ${\displaystyle f}$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja złożona ${\displaystyle i\circ f}$ jest ciągła.

Powyższa własność jest charakteryzacją w tym sensie, że może być użyta do zdefiniowania topologii podprzestrzeni na ${\displaystyle Y.}$

• Jeśli ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ jest funkcją ciągłą, to jej ograniczenie do ${\displaystyle Y}$ też jest ciągłe.
• Podzbiór ${\displaystyle F\subseteq Y}$ jest domknięty (w topologii na ${\displaystyle Y}$) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle F=F^{*}\cap Y}$ dla pewnego domkniętego podzbioru ${\displaystyle F^{*}\subseteq X.}$
• Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jest bazą topologii na ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{Y}=\{U\cap Y:U\in {\mathcal {B}}\}}$ jest bazą topologii na ${\displaystyle Y.}$
• Każda podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle Y}$ jest także podprzestrzenią przestrzeni ${\displaystyle X.}$
• Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest otwartym podzbiorem ${\displaystyle X,}$ to podziór ${\displaystyle U\subseteq Y}$ jest otwarty w ${\displaystyle Y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w ${\displaystyle X.}$
• Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest domkniętym podzbiorem ${\displaystyle X,}$ to podziór ${\displaystyle F\subseteq Y}$ jest domknięty w ${\displaystyle Y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty w ${\displaystyle X.}$
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią metryczną z metryką ${\displaystyle d,}$ to wtedy ${\displaystyle d_{Y}=d|_{Y\times Y}}$ jest metryką na ${\displaystyle Y}$ i topologia podprzestrzeni na ${\displaystyle Y}$ jest wyznaczona przez ${\displaystyle d_{Y}}$

Własności dziedziczne

Mówimy, że własność P przestrzeni topologicznych jest własnością dziedziczną, gdy:

dla każdej przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X,}$ jeśli ${\displaystyle X}$ ma własność P i ${\displaystyle Y}$ jest podprzestrzenią ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle Y}$ także ma własność P.

Przykłady własności dziedzicznych:

• aksjomaty oddzielania ${\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},T_{3{\frac {1}{2}}},T_{5},T_{6},}$
• aksjomaty przeliczalności,
• metryzowalność,
• całkowita niespójność,
• bycie metryczną przestrzenią ośrodkową.

Przykłady własności, które nie są własnościami dziedzicznymi:

• bycie przestrzenią normalną,
• ośrodkowość,
• zwartość.

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• topologia