Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń (także słaba topologia, ang. initial topology) – najuboższa topologia w danym zbiorze ${\displaystyle X,}$ względem której każde przekształcenie ze z góry zadanej rodziny przekształceń zbioru ${\displaystyle X}$ o wartościach w przestrzeniach topologicznych jest ciągłe. Pojęcie topologii wprowadzonej przez rodzinę przekształceń wprowadził Nicolas Bourbaki.

Konstrukcja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zbiorem, ${\displaystyle \{Y_{i}\colon i\in I\}}$ będzie rodziną przestrzeni topologicznych oraz niech dla każdego ${\displaystyle i}$ dana będzie funkcja (przekształcenie)

${\displaystyle f_{i}\colon X\to Y_{i}.}$

W zbiorze ${\displaystyle X}$ istnieje najsłabsza topologia, względem której każda funkcja ${\displaystyle f_{i}}$ jest ciągła. Bazą tej topologii jest rodzina zbiorów postaci

${\displaystyle \bigcap _{i\in J}f_{i}^{-1}[V_{i}],}$

gdzie ${\displaystyle J}$ jest skończonym podzbiorem zbioru ${\displaystyle I}$ oraz ${\displaystyle V_{i}}$ jest otwartym podzbiorem ${\displaystyle Y_{i}.}$ Topologia ta nazywana jest topologią wyznaczoną przez rodzinę przekształceń ${\displaystyle \{f_{i}\colon i\in I\}.}$

• Przekształcenie przestrzeni topologicznej ${\displaystyle W}$ w przestrzeń ${\displaystyle Y,}$ której topologia jest wyznaczona przez rodzinę przekształceń ${\displaystyle \{f_{i}\colon \,i\in I\},}$ gdzie ${\displaystyle f_{i}\colon Y\to Z_{i},}$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle i}$ złożenie ${\displaystyle f_{i}\circ f}$ jest ciągłe.

Przykłady

• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną, której przestrzeń sprzężona ${\displaystyle X^{*}}$ jest nietrywialna (na przykład, ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią lokalnie wypukłą, w szczególności, przestrzenią unormowaną), to w zbiorze ${\displaystyle X}$ można wprowadzić topologię wyznaczoną przez rodzinę ${\displaystyle \{x^{*}\colon \,x^{*}\in X^{*}\}.}$ Topologia ta, nazywana słabą topologią w ${\displaystyle X,}$ jest liniowa oraz lokalnie wypukła.
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest taką przestrzenią liniowo-topologiczną jak wyżej, to w przestrzeni ${\displaystyle X^{*}}$ można wprowadzić tzw. *-słabą topologię, tj. topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń ${\displaystyle \{\Phi _{x}\colon \,x\in X\},}$ gdzie ${\displaystyle \Phi _{x}x^{*}=x^{*}x}$ dla ${\displaystyle x\in X}$ i ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$ (każde odwzorowanie ${\displaystyle \Phi _{x}}$ jest funkcjonałem liniowym na ${\displaystyle X^{*}}$).

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 30–31. ISBN 3-540-64241-2.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 48–49.