Trójkąt

Trójkąt

Liczba boków	3
Liczba przekątnych	0
Symbol Schläfliego	{3} (trójkąt równoboczny)
Kąt wewnętrzny	60° (trójkąt równoboczny)

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach^[1]. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta^[1][2]. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami^[1].

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°^[1], zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz dalej).

Rodzaje

A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

• trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
• trójkąt równoramienny ma dwa boki tej samej długości^[1];
• trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości^[1]; wszystkie jego kąty są tej samej miary.

równoboczny	równoramienny	różnoboczny

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

• trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre^[1];
• trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty^[1] (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej^[3]; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
• trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty^[1].

ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Ważne elementy

Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok^[3]. Słowem „wysokość” często też nazywany jest odcinek wysokości, łączący wierzchołek z punktem na prostej zawierającej przeciwległy bok; długość tego odcinka też nazywa się wysokością. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta.

Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku^[1]. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie^[1], będącym środkiem geometrycznym (barycentrum, lub błędnie środkiem masy lub środkiem ciężkości) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek^[1]. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie^[1].

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt^[1].

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela – punkt, w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergonne'a – punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkty Brocarda – w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

Punkt Fermata – punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

wysokości i ortocentrum	środkowe i barycentrum	symetralne i okrąg opisany	dwusieczne i okrąg wpisany

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków ${\displaystyle S_{1},}$ symetralnych boków ${\displaystyle S_{2},}$ wysokości ${\displaystyle S_{3}}$ (odpowiednio: barycentrum, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera. Ponadto ${\displaystyle |S_{1}S_{3}|=2|S_{1}S_{2}|.}$

Pole powierzchni

Przyjmując dla trójkąta ${\displaystyle ABC}$ następujące oznaczenia:

${\displaystyle a,\ b,\ c}$ – długości boków;

${\displaystyle h_{a},\ h_{b},\ h_{c}}$ – wysokości opuszczone na boki odpowiednio ${\displaystyle a,\ b,\ c;}$

${\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \gamma }$ – kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio ${\displaystyle a,\ b,\ c;}$

${\displaystyle S}$ – pole powierzchni;

${\displaystyle R}$ – promień okręgu opisanego;

${\displaystyle r}$ – promień okręgu wpisanego;

${\displaystyle p}$ – połowa obwodu; ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}};}$

dostaniemy następujące wzory na pole powierzchni^[3]:

Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości.

${\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}={\frac {bh_{b}}{2}}={\frac {ch_{c}}{2}};}$

${\displaystyle S={\frac {ab\sin \gamma }{2}}={\frac {bc\sin \alpha }{2}}={\frac {ca\sin \beta }{2}};}$

${\displaystyle S=pr={\frac {abc}{4R}};}$

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ (wzór Herona);

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}}$ (postać wyznacznikowa).

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}=}$

${\displaystyle =2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma .}$

W geometrii analitycznej przyjmując dla wierzchołków trójkąta^[3]

${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),}$

${\displaystyle B=(b_{1},b_{2}),}$

${\displaystyle C=(c_{1},c_{2}),}$

dostaniemy także następujące wzory:

${\displaystyle S=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{vmatrix}}\right|,}$ czyli

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}\left|{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}\right|={\frac {1}{2}}|a_{1}b_{2}+b_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-c_{1}b_{2}-a_{1}c_{2}-b_{1}a_{2}|;}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}b_{1}-a_{1}&b_{2}-a_{2}\\c_{1}-a_{1}&c_{2}-a_{2}\end{bmatrix}}\right|.}$

Środek geometryczny

Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie:

${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),}$

${\displaystyle B=(b_{1},b_{2}),}$

${\displaystyle C=(c_{1},c_{2}),}$

ma środek geometryczny (barycentrum) w punkcie:

${\displaystyle Q=\left({\frac {a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3}},\ {\frac {a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}}\right).}$

Nierówność trójkąta

Wizualizacja „działania” nierówności trójkąta

W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c}$ zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

${\displaystyle a<b+c,}$

i analogicznie

${\displaystyle b<c+a,}$

${\displaystyle c<a+b.}$

Trójkąt o bokach, których długości wynoszą ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c}$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

${\displaystyle |b-c|<a<b+c.}$

Geometrie nieeuklidesowe

Na płaszczyźnie euklidesowej suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli ${\displaystyle 180^{\circ }=\pi .}$

W geometriach innych niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego 10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód, a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°, a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (dobre przybliżenie powierzchni geoidy) obowiązuje geometria eliptyczna, a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180°, opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii.

Zobacz też

• okrąg dziewięciu punktów
• sympleks
• trójkąt Penrose’a
• trójkąt sferyczny
• trójkąt wymierny
• twierdzenia: sinusów, cosinusów, tangensów
• twierdzenie Cevy, trygonometryczne
• twierdzenie Menelaosa
• twierdzenie Pitagorasa
• wzór Herona

Przypisy

Bibliografia

• Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), ISBN 83-02-02551-8 .