Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb:

 0                     1
 1                   1   1
 2                 1   2   1
 3               1   3   3   1
 4             1   4   6   4   1
 5           1   5   10  10   5   1
 6         1   6   15  20  15   6   1
 7       1   7   21  35  35   21  7   1
 8     1   8   28  56  70  56   28  8   1
 9   1   9  36   84  126 126  84  36  9   1
      . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią

Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią[1]. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona – rozwinięcia Na przykład:

  • w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.

Inaczej: licząc miejsca w wierszu i kolumnie od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa

Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe

Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

Własności trójkąta

Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2
Wyróżnione elementy trójkąta Pascala podzielne przez 3
  • Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki.
  • W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4,...).
  • W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10,...).
  • W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35,...).
  • W czwartej liczbę kul w „czworościanie” w przestrzeni czterowymiarowej.
  • Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe.
  • Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów w trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.
  • Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2.
  • Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół.
  • Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego. Podobna prawidłowość zachodzi także dla dowolnych liczb naturalnych:
 0                     1                                      #
 1                   1   1                                  #   #
 2                 1   2   1                              #       #
 3               1   3   3   1                          #   #   #   #
 4             1   4   6   4   1                      #               #
 5           1   5  10  10   5   1                  #   #           #   #
 6         1   6  15  20  15   6   1              #       #       #       #
 7       1   7  21  35  35  21   7   1          #   #   #   #   #   #   #   #
 8     1   8  28  56  70  56   28  8   1      #                               #
 9   1   9  36  84  126 126 84  36   9   1  #   #                           #   #
  • Suma kwadratów wszystkich elementów wiersza o numerze n (numerując od zera) jest równa środkowemu elementowi wiersza 2n.

Zastosowania

Biologia

W genetyce w odniesieniu do genów kumulatywnych. Biorąc co drugi wiersz zaczynając od wiersza drugiego (1:2:1) trójkąt pokazuje stosunki rozszczepień w przypadku cech determinowanych przez geny kumulatywne[2].

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Każdy współczynnik obrazuje liczbę dróg, którymi można dojść od wierzchołka do danego punktu – ma to wykorzystanie przy analizie prawdopodobieństwa przy użyciu Deski Galtona[3].

Programy obliczające

Animacja trójkąta Pascala w reprezentacji binarnej.

Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej w języku Pascal, obliczającej element trójkąta Pascala. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkąta.

function pascal(n,k:integer):integer;
begin
  if (k=0) or (k=n) then
     pascal := 1
  else
     pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k);
end;

Przykład drzewa Pascala napisany w języku C++, n – liczba wierszy, tablica zwraca wartość współczynnika w zadanym wierszu i kolumnie:

  long long **trojkatPascala;
  trojkatPascala= new long long *[n];
  for (int j=0;j<n;j++)
  {
    trojkatPascala[j]=new long long [j+1];
    trojkatPascala[j][0]=1;
    trojkatPascala[j][j]=1;

    for (int i=0; i<j-1; i++)
      trojkatPascala[j][i+1]=trojkatPascala[j-1][i]+trojkatPascala[j-1][i+1];
  }

A oto przykład programu w Pythonie wypisującego liczby z trójkąta Pascala dla zadanej liczby rzędów:

def write_list(list):
    print(' '.join([str(item) for item in list]).center(30))

x = input("Podaj liczbe poziomow: ")
line = [1]
write_list(line)
for i in range(int(x) - 1):
    next_line = [1]
    for j in range(len(line) - 1):
        next_line.append(line[j] + line[j + 1])
    next_line.append(1)
    line = next_line
    write_list(line)

Zobacz też

Przypisy

  1. Pascala trójkąt, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-03-12].
  2. dr Henryk St. Różański: Geny polimeryczne w Wykłady z przedmiotu: Genetyka i parazytologia lekarska. [dostęp 2011-05-20].
  3. Iwo Białynicki-Birula, Iwona Białynicka-Birula: Modelowanie rzeczywistości. Warszawa: Prószyński i S-ka SA, 2002, s. 36. ISBN 83-7255-103-0.

Linki zewnętrzne


Media użyte na tej stronie

Pascal's Triangle divisible by 3.svg
(c) Nonenmac z angielskiej Wikipedii, CC BY-SA 3.0
en:Pascal's triangle with those numbers not divisible by 3 shaded. Created using Adobe Illustrator and a text editor.
Pascal's Triangle animated binary rows.gif
Autor: Juanmacuevas, Licencja: CC BY-SA 4.0
Each frame represents a row in Pascal's triangle. Each column of pixels a number in binary with the least significant bit at the bottom. Light pixels represent ones and the dark pixels are zeroes.
PascalTriangleAnimated2.gif

Pascal's triangle is a geometric arrangement of integers representing the binomial coefficients in a polynominal equation of the format (x + y)n. The formation also demonstrates many other mathematical properties, such as listing the entire set of the natural numbers in the first diagonal rows. This phenomenon is named after Blaise Pascal in the western world, however was studied in detail before his time in many Asian countries.

It is also called the Halayudha's triangle, in honor of the Sanskrit prosody scholar who described it. (See: Alexander Zawaira and Gavin Hitchcock (2008), A Primer for Mathematics Competitions, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-156170-2, page 237)

It is alternately referred to as "Khayyam's triangle" after the Persian Omar Khayyám. Each number is the sum of the two directly above it. This animation shows this relation in the construction of the first five rows, however the pattern applies for an infinite range.

This version has the 1 cells already filled in, and includes actual animation to better demonstrate the construction.