Trójkąt asymptotyczny

Trójkąt asymptotyczny

Trójkąt asymptotyczny – figura utworzona przez dwa promienie równoległe i odcinek łączący ich początki[1].

Można go interpretować jako trójkąt, którego trzecim (poza początkami półprostych równoległych i ) wierzchołkiem jest punkt w nieskończoności odpowiadający pękowi[a] promieni równoległych do i

Boki i nazywamy bokami równoległymi trójkąta asymptotycznego, a bok bokiem skończonym. Boki równoległe trójkąta asymptotycznego są półprostymi, czyli można powiedzieć, że ich długość jest nieskończona. Trzeci bok jest odcinkiem o skończonej długości. Stąd jego nazwa.

Trójkąt asymptotyczny w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej

Z twierdzenia Bolyai wynika, że kąt trójkąta asymptotycznego w wierzchołku jest równy zero. Jeśli jeden z pozostałych kątów jest prosty, to taki trójkąt nazywamy trójkątem asymptotycznym prostokątnym. Drugi z pozostałych kątów jest wtedy ostry i nazywany jest kątem równoległości lub kątem Łobaczewskiego.

Własności

  • Jeśli w trójkątach asymptotycznych i spełnione są równości i to [b][2]
  • Jeśli w trójkątach asymptotycznych i spełnione są równości i to [3].
  • Suma kątów dodatnich trójkąta asymptotycznego jest mniejsza od 180°.
  • Trójkąt asymptotyczny określają dwa jego dodatnie kąty[3].
  • Dwa trójkąty asymptotyczne prostokątne[c] mają ten sam kąt ostry wtedy i tylko wtedy, gdy ich boki skończone są równe. Wynika stąd, że istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie bokom skończonym trójkąta asymptotycznego kątów równoległości, gdzie x jest długością boku skończonego[d].
  • Trójkąt asymptotyczny ma pole skończone[4].

Zastosowanie graficzne

Parkietaż koła zrealizowany za pomocą trójkątów asymptotycznych w modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej

W tak zwanym modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej punktami są punkty wnętrza koła, a proste są łukami okręgów prostopadłych do brzegu tego koła. Punkty brzegu koła są punktami w nieskończoności geometrii hiperbolicznej. Na ilustracji wszystkie elementy parkietażu koła są trójkątami asymptotycznymi, bo jeden z ich wierzchołków leży na okręgu ograniczającym koło. Na rysunku widać, dlaczego kąt przy wierzchołku w nieskończoności trójkąta asymptotycznego jest kątem zerowym. Oba łuki są prostopadłe do brzegu koła w tym samym punkcie, czyli są styczne do siebie. Podobne parkietaże były motywami grafik Mauritsa Eschera[5]. Grafiki oparte na motywach geometrii hiperbolicznej rozpoznać można po tym, że elementy maleją wraz ze zbliżaniem się do brzegu koła.

Uwagi

  1. Równoległość jest relacją równoważności. Z drugiej strony wiadomo (równoległość w geometrii hiperbolicznej), że promienie równoległe nieograniczenie się do siebie zbliżają. Dlatego można przyjąć, że promienie takie tworzą pęk promieni przechodzących przez punkt w nieskończoności.
  2. Twierdzenie to jest analogiczne do cech przystawania trójkątów z geometrii absolutnej.
  3. Trójkąt asymptotyczny nazywamy trójkątem asymptotycznym prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest kątem prostym.
  4. Jest to natychmiastowy wniosek z własności poprzedniej.

Przypisy

  1. Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 289.
  2. Carslaw H.S.: The elements of Non-Euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916, s. 49.
  3. a b Coxeter, op. cit., s. 314.
  4. Coxeter, op. cit., s. 318.
  5. Марсел Берже: Геометрия. Cz. 2. Москва: Мир, 1984, s. 301.

Bibliografia

  • H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • H.S. Carslaw: The elements of Non-Euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916.
  • Марсел Берже: Геометрия. Cz. 2. Москва: Мир, 1984, s. 283–308.

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Asymptotic triangle.svg
Autor: Januszkaja, Licencja: CC BY-SA 3.0
Asymptotic triangle in hyperbolic geometry
H2checkers 33i.png
Tiling of the hyperbolic plane by triangles: π/3, π/3, 0.

(Featured in Polish "Did You Know", 2011-12-13.) Generated by Python code at User:Tamfang/programs.

Equivalent: H2chess 23ie.png

Dual: H2 tiling 23i-6.png H2 tiling 33i-7.png