Trójkąt podwójnie asymptotyczny

Trójkąt podwójnie asymptotyczny – figura utworzona przez prostą oraz dwa różne promienie wychodzące z danego punktu A leżącego poza tą prostą, równoległe do niej[1].

Można zdefiniować trójkąt podwójnie asymptotyczny posiłkując się pojęciem punktu w nieskończoności. Jest to figura utworzona przez prostą MN oraz dwa różne promienie wychodzące z jednego punktu A leżącego poza tą prostą równoległe do tej prostej, gdzie M i Npunktami w nieskończoności. Tylko jeden z jego kątów jest niezerowy – kąt między dwoma promieniami. Kąt ten jest dwukrotnością kąta równoległości punktu A względem prostej p. Punkt A jest skończonym wierzchołkiem trójkąta podwójnie asymptotycznego. Boki (promienie) AM i AN nazywają się ramionami trójkąta podwójnie asymptotycznego, a prostą MN - podstawą trójkąta podwójnie asymptotycznego.

Trójkąt N AM jest trójkątem podwójnie asymptotycznym. Punkty N i M są punktami w nieskończoności.

Własności

  • Trójkąt podwójnie asymptotyczny jest figurą symetryczną względem prostej prostopadłej do jego podstawy przechodzącej przez jego skończony wierzchołek. Kąty między tą prostopadłą i każdym z ramion są równe kątowi równoległości wierzchołka skończonego względem podstawy. Długość odcinka prostopadłej łączącego wierzchołek skończony z jego rzutem na podstawę jednoznacznie wyznacza kąt równoległości (czyli z dokładnością do przystawania figur wyznacza trójkąt podwójnie asymptotyczny).
  • Trójkąt podwójnie asymptotyczny jest sumą dwóch przystających trójkątów asymptotycznych prostopadłych.
  • Trójkąt podwójnie asymptotyczny ma pole skończone[2]. Jest to wniosek ze skończoności pola trójkąta asymptotycznego[2].
  • Dwa trójkąty podwójnie asymptotyczne są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe pola[3].
  • Dwa trójkąty podwójnie asymptotyczne są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy w obu wierzchołek niebędący punktem w nieskończoności leży w tej samej odległości od boku, który jest prostą.
  • Dwa trójkąty podwójnie asymptotyczne są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy w obu kąt między promieniami jest taki sam.
  • Podstawa trójkąta podwójnie asymptotycznego jest prostą zagradzającą niezerowy kąt tego trójkąta.

Zastosowania w sztuce

Jeden z możliwych parkietarzy koła trójkątami podwójnie asymptotycznymi
Parkietarz koła trójkątami podwójnie asymptotycznymi
  • Trójkąty podwójnie asymptotyczne mają zastosowania graficzne. Można układać z nich parkietarze koła (w modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej). Dwa z trzech wierzchołków takiego trójkąta leżą na okręgu będącym brzegiem koła. Każdy z trójkątów parkietarzu, zarówno biały, jak i czarny, ma tę własność.

Przypisy

  1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 316.
  2. a b Coxeter, op. cit., s. 318
  3. Coxeter, op. cit., s. 316

Bibliografia

Media użyte na tej stronie

Two-asymptotic triangle.svg
Autor: Januszkaja, Licencja: CC BY-SA 3.0
Two-asymptotic triangle
H2checkers 3ii.png
Tiling of the hyperbolic plane by triangles: π/3, 0, 0.

Generated by Python code at User:Tamfang/programs.

Equivalent: H2chess 26if.png

Dual: H2 tiling 26i-3.png H2 tiling 3ii-7.png
H2checkers 2ii.png
Tiling of the hyperbolic plane by triangles: π/2, 0, 0.

Generated by Python code at User:Tamfang/programs.

Equivalent: H2chess 24if.png

Dual: H2 tiling 24i-3.png H2 tiling 2ii-7.png