Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny
a, b – długości przyprostokątnych,
c – długość przeciwprostokątnej,
α, β – miary kątów ostrych,
h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątny – trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty^[1].

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski, tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5^[a].

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Własności geometryczne

• środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym;
• przyprostokątne trójkąta prostokątnego są jego wysokościami;
• symetralne przyprostokątnych są liniami środkowymi;
• środkowa opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne;
• wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Powstałe trójkąty są podobne tak do siebie, jak i całego trójkąta.

Związki metryczne

• Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
• Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość ${\displaystyle {\frac {ab}{c}},}$ jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości.
• Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:

${\displaystyle S={{\tfrac {1}{2}}{c}\cdot {h}},}$

${\displaystyle S={{\tfrac {1}{2}}{a}\cdot {b}},}$

${\displaystyle S={{\tfrac {1}{2}}b^{2}\operatorname {tg} \alpha }={{\tfrac {1}{2}}a^{2}\operatorname {tg} \beta },}$

${\displaystyle S={{\tfrac {1}{4}}c^{2}\sin 2\alpha }={{\tfrac {1}{4}}c^{2}\sin 2\beta }.}$

• Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem: ${\displaystyle R={{\tfrac {1}{2}}c}.}$^[2]
• Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem: ${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}.}$^[2]

Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: ${\displaystyle (a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^{2}-c^{2}.}$ Z twierdzenia Pitagorasa wynika: ${\displaystyle (a+b)^{2}-c^{2}=2ab.}$ Zatem z wzorów na pole trójkąta: ${\displaystyle S=pr={\frac {1}{2}}ab={\frac {a+b-c}{2}}p}$ i ${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}.}$

• Niech ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:

${\displaystyle r+r_{1}+r_{2}=h.}$

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: ${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}},}$ ${\displaystyle r_{1}={\frac {y+h-a}{2}},}$ ${\displaystyle r_{2}={\frac {x+h-b}{2}},}$ gdzie ${\displaystyle x,y}$ to długości odcinków, na które wysokość dzieli ${\displaystyle c.}$ Zatem ${\displaystyle (x+y=c)}$ ${\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}+{\frac {y+h-a}{2}}+{\frac {x+h-b}{2}}={\frac {2h}{2}}}$

${\displaystyle r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r^{2},}$

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

• Niech ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$ oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:

${\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}},}$

${\displaystyle r_{c}=r+r_{a}+r_{b}.}$

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 224–225. ISBN 83-86007-63-X. (pol.)