Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny – trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość^[1]; szczególny przypadek trójkąta równoramiennego. Jest przykładem wielokąta foremnego.

Niech $a$ oznacza bok trójkąta równobocznego. Wówczas trójkąt ma następujące własności:

każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę:

\alpha ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ },

obwód wynosi:

L=3a,

wysokość ma długość^[2]:

h={\frac {a~{\sqrt {3}}}{2}}\approx 0{,}866~a,

pole powierzchni jest równe^[2]:

S={\frac {a^{2}~{\sqrt {3}}}{4}}\approx 0{,}433~a^{2},

długość promienia okręgu wpisanego wynosi^[2]:

r={\frac {1}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}\approx 0{,}289~a,

długość promienia okręgu opisanego wynosi^[2]:

R={\frac {2}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}\approx 0{,}577~a,

jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi oraz dzielą się wzajemnie w stosunku 1 : 2.

Zależności liczbowe w trójkącie równobocznym

Niech dodatkowo $L_{r},L_{R}$ oznaczają odpowiednio obwód okręgu wpisanego i opisanego, zaś $S_{r},S_{R}$ – odpowiednio pole koła wpisanego i opisanego.

$=$	$a$	$h$	$S$	$r$	$R$	$L_{r}$	$L_{R}$	$S_{r}$	$S_{R}$
$a$	$a$	${\frac {2h{\sqrt {3}}}{3}}$	$2{\sqrt {\frac {S{\sqrt {3}}}{3}}}$	$2r{\sqrt {3}}$	$R{\sqrt {3}}$	${\frac {L_{r}{\sqrt {3}}}{\pi }}$	${\frac {L_{R}{\sqrt {3}}}{2\pi }}$	$2{\sqrt {\frac {3S_{r}}{\pi }}}$	${\sqrt {\frac {3S_{R}}{\pi }}}$
$h$	${\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$	$h$	${\sqrt {S{\sqrt {3}}}}$	$3r$	${\frac {3}{2}}R$	${\frac {3L_{r}}{2\pi }}$	${\frac {3L_{R}}{4\pi }}$	$3{\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}$	${\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {S_{R}}{\pi }}}$
$S$	${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$	${\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}$	$S$	$3r^{2}{\sqrt {3}}$	${\frac {3R^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$	${\frac {3{L_{r}}^{2}{\sqrt {3}}}{4\pi ^{2}}}$	${\frac {3{L_{R}}^{2}{\sqrt {3}}}{16\pi ^{2}}}$	${\frac {3S_{r}{\sqrt {3}}}{\pi }}$	${\frac {3S_{R}{\sqrt {3}}}{4\pi }}$
$r$	${\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}$	${\frac {1}{3}}h$	${\frac {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}{3}}$	$r$	${\frac {1}{2}}R$	${\frac {L_{r}}{2\pi }}$	${\frac {L_{R}}{4\pi }}$	${\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}$	${\sqrt {\frac {S_{R}}{4\pi }}}$
$R$	${\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$	${\frac {2}{3}}h$	${\frac {2{\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}$	$2r$	$R$	${\frac {L_{r}}{\pi }}$	${\frac {L_{R}}{2\pi }}$	$2{\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}$	${\sqrt {\frac {S_{R}}{\pi }}}$
$L_{r}$	${\frac {\pi a{\sqrt {3}}}{3}}$	${\frac {2\pi h}{3}}$	${\frac {2\pi {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}$	$2\pi r$	$\pi R$	$L_{r}$	${\frac {L_{R}}{2}}$	$2{\sqrt {\pi S_{r}}}$	${\sqrt {\pi S_{R}}}$
$L_{R}$	${\frac {2\pi a{\sqrt {3}}}{3}}$	${\frac {4\pi h}{3}}$	${\frac {4\pi {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}$	$4\pi r$	$2\pi R$	$2L_{r}$	$L_{R}$	$4{\sqrt {\pi S_{r}}}$	$2{\sqrt {\pi S_{R}}}$
$S_{r}$	${\frac {\pi a^{2}}{12}}$	${\frac {\pi h^{2}}{9}}$	${\frac {\pi S{\sqrt {3}}}{9}}$	$\pi r^{2}$	${\frac {\pi R^{2}}{4}}$	${\frac {{L_{r}}^{2}}{4\pi }}$	${\frac {{L_{R}}^{2}}{16\pi }}$	$S_{r}$	${\frac {S_{R}}{4}}$
$S_{R}$	${\frac {\pi a^{2}}{3}}$	${\frac {4\pi h^{2}}{9}}$	${\frac {4\pi S{\sqrt {3}}}{9}}$	$4\pi r^{2}$	$\pi R^{2}$	${\frac {{L_{r}}^{2}}{\pi }}$	${\frac {{L_{R}}^{2}}{4\pi }}$	$4S_{r}$	$S_{R}$

Zobacz też

twierdzenie trysekcji Morleya

Przypisy

↑ trójkąt równoboczny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-29] .
↑ ^a ^b ^c ^d Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 9, ISBN 978-83-940902-1-0 .

Linki zewnętrzne

Trójkąt równoboczny na Matematicus.pl

[1] trójkąt równoboczny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-29] .

[cke-2] Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 9, ISBN 978-83-940902-1-0 .

[1]

[2]

Trójkąty	trójkąt prostokątny trójkąt równoboczny trójkąt równoramienny trójkąt różnoboczny
Czworokąty	trapez deltoid równoległobok romb prostokąt kwadrat
Inne	wielokąt gwiaździsty wielokąt monotoniczny
Wielokąty foremne	trójkąt równoboczny (3) kwadrat (4) pięciokąt foremny (5) sześciokąt foremny (6) siedmiokąt foremny (7) ośmiokąt foremny (8) dziewięciokąt foremny (9) dziesięciokąt foremny (10) jedenastokąt foremny (11) dwunastokąt foremny (12) trzynastokąt foremny (13) czternastokąt foremny (14) piętnastokąt foremny (15) szesnastokąt foremny (16) siedemnastokąt foremny (17) osiemnastokąt foremny (18) dziewiętnastokąt foremny (19) dwudziestokąt foremny (20) stukąt (100)

Navigation

Nawigacja

Portale tematyczne

Trójkąt równoboczny

Spis treści

Zależności liczbowe w trójkącie równobocznym

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie