Transformacja Lorentza

Widok czasoprzestrzeni wzdłuż linii świata gwałtownie przyspieszającego obserwatora
Animacja transformacji Lorentza

Transformacja Lorentza, przekształcenie Lorentzaprzekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w poruszającym się układzie odniesienia, jeśli wielkości te znane są w danym układzie.

Przekształceniu Lorentza podlegają 4-wektory: 4-wektor położeń ciał w czasoprzestrzeni 4-wektor prędkości ciał w czasoprzestrzeni, 4-wektor energii-pędu, tensory pola elektrycznego i magnetycznego itd.

Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.

Transformacja współrzędnych

W transformacji Galileusza niezmiennikami są oddzielnie odstęp czasowy zdarzeń oraz ich odległość w przestrzeni. Oznacza to, że odstęp czasu dwóch zdarzeń, zmierzony przez dwóch obserwatorów, poruszających się względem siebie, będzie taki sam. Podobnie odległość przestrzenna zdarzeń, zmierzona przez tych obserwatorów, będzie identyczna. Czas i przestrzeń są w klasycznej fizyce niezależne od siebie. Czas jest wielkością absolutną.

W transformacji Lorentza jest inaczej: zachowany jest interwał, tj. odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni, podczas gdy upływ czasu i odległość między zdarzeniami zmierzone przez obserwatorów poruszających się względem siebie będą inne, zależne od prędkości. W ten sposób czas trwania tego samego zjawiska czy odległość przestrzenna są wielkościami względnymi, zależnymi od obserwatora.

Transformacje współrzędnych czasoprzestrzeni mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego i poruszającego się są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ porusza się ze stałą prędkością wzdłuż osi Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach i wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych i w obu układach pokrywają się, to transformacja Lorentza ma postać[1][2]:

gdzie:

lub

W powyższych wzorach – prędkość światła w próżni.

Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła w próżni i transformacja Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.

Wyprowadzenie

Rozważmy cząstkę poruszającą się w układzie ze prędkością światla Równanie trajektorii tej cząstki w tym układzie jest natomiast względem układu porusza się ona w układzie z prędkością względną Zakładając, że pokonuje ona tą samą odległość względem w obu układach i w obu porusza się ona z prędkością światła musi zachodzić Zachodzi więc dylatacja jej czasu w danym polożeniu w układzie

Analogicznie możemy zapisać

Szukana w ten sposób transformacja okazuje się więc transformacją Galileusza z dylatacją czasu:

Założymy teraz że obowiązuje ona dla dowolnych współrzędnych zdarzeń, a nie tylko dla wpółrzędnych trajektorii fotonu.

Odwracając transformacje na otrzymujemy jednak

Jednak sytuacja fizyczna widziana z układu jest identyczna jak widziana z a jedynie układ porusza się względem z prędkością Spróbujemy więc poprawić transformację przeskalowaniem zachowującym naturalnie prędkość światła:

Transformacja odwrotna staje się w oczywisty sposób natychmiast:

Aby obie transformacje były identyczne z wyjątkiem fizycznej zmiany znaku prędkości względnej musi więc zachodzić

lub

czyli

Otrzymana transformacja jest więc transformacją Lorentza.

Zapis macierzowy

Czterowektory – to wektory określone w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni; wektory te mają współrzędne, powstałe z rzutowania 4-wektora na osie układu; tradycyjnie współrzędnej czasowej (powstałej z rzutowania na oś czasu) nadaje się indeks a trzem współrzędnym przestrzennym (powstałym z rzutowania wektora na osie przestrzenne) nadaje się indeksy Przy takim wyborze wektor położenia zapisuje się w postaci

gdzie:

lub w skrócie

gdzie domyślnie indeks przyjmuje wartości:

W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych.

Aby uzyskać współrzędne dowolnego 4-wektora w innym układzie, należy dokonać transformacji Lorentza, mnożąc „stary” wektor przez macierz Lorentza:

co oznacza, że nowe współrzędne wyrażają się przez stare następująco (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina)

gdzie:

– współrzędne wektora w oryginalnym układzie współrzędnych,
– współrzędne wektora w nowym układzie współrzędnych,
– elementy macierzy transformacji Lorentza między starym a nowym układem współrzędnych.

Tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego jest macierz

tj. składowe diagonalne są niezerowe, a wszystkie inne zerują się.

Przekształcenie układu współrzędnych opisane macierzą będzie transformacją Lorentza, gdy:

  • pozostawia niezmieniony tensor metryczny, tj. prawdziwe będzie poniższe równanie
  • wyznacznik macierzy wynosi tj.

Grupa Lorentza i Poincarégo

W teorii względności rozważa się specjalne grupy transformacji: grupę Lorentza i grupę Poincarégo. Wybór tych grup transformacji jest oparty o obserwację, iż prawa przyrody są względem tych transformacji niezmiennicze (tzn. zależność między wielkościami fizycznymi mierzonymi w jednym układzie wyraża się identycznymi wyrażeniami jak zależności między tymi samymi wielkościami mierzonymi w innym układzie).

Przekształcenie będące automorfizmem w wektorowej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest przekształceniem Lorentza. Odwzorowania takie tworzą grupę Lorentza. Przekształcenie będące automorfizmem w afinicznej czasoprzestrzeni Minkowskiego nazywane jest natomiast przekształceniem Poincarégo. Te tworzą grupę Poincarégo.

Podgrupy grupy Lorentza

Uwaga: Macierze transformacji poniżej wymienionych omówiono dokładnie w artykule grupa Lorentza.

W grupie Lorentza można wyróżnić podgrupy:

  • jednorodne przekształcenia Lorentza: początek układu współrzędnych nie zmienia się; należą tu:
    • obroty w czasoprzestrzeni (wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza jest wtedy równy 1), przy czym wyróżnia się:
      • zwykłe obroty w przestrzeni 3D,
      • pchnięcia Lorentza, czyli właściwe transformacje Lorentza – to transformacje z danego układu do układu poruszającego się względem niego,
    • odbicia przestrzenne i inwersja czasu (wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza jest wtedy równy −1),
  • niejednorodne przekształcenia Lorentza – przekształcenia Lorentza zawierające translacje początku układu współrzędnych.

Pchnięcie Lorentza

Pchnięcie Lorentza jest analogiem obrotu w czasoprzestrzeni Minkowskiego. W opisie przekształcenia stosuje się funkcje hiperboliczne. Interwał czasoprzestrzenny wyrażony poprzez takie funkcje okazuje się jednak tożsamy z klasyczną transformacją współrzędnych Lorentza, która wprowadza stałą względną prędkość jednego układu odniesienia względem tego, do którego współrzędne są transformowane. Ilustracja takiego przekształcenia na diagramie Minkowskiego nie może mieć sensu właściwego obrotu, gdyż osie nowego układu zbliżają się do siebie.

Interwał czasoprzestrzenny w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest sumą części czasowej – ta nie zmienia się przy transformacjach przestrzeni, oraz przestrzennej – niezmienność interwału dopuszcza transformacje przestrzenne polegające na obrotach, translacjach i odbiciach w przestrzeni. Można zatem na rozmaitości czasoprzestrzennej wyróżnić podgrupy: obrotów i translacji.

Wyprowadzenie zjawisk relatywistycznych

Z transformacji Lorentza można wyprowadzić m.in. poniżej zestawione prawa.

Dodawanie prędkości

Transformacja Lorentza prowadzi do prawa składania prędkości innego niż klasyczne prawo składania prędkości (które wynika z transformacji Galileusza), tj.

gdzie:

– prędkość ciała względem układu
– prędkość tego samego ciała względem układu
– prędkość układu względem układu

Dyskusja wzoru:

(1) Dla małych prędkości układów odniesienia oraz powyższy wzór sprowadza się do klasycznego prawa składania prędkości:

(2) Jeżeli rozważanym obiektem jest światło, które ma w jednym układzie prędkość to w układzie poruszającym prędkość światła będzie wynosić czyli tyle samo, co w układzie jest to zgodne z postulatem Einsteina, iż prędkość światła jest stała względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia.

Skrócenie Lorentza-Fitzgeralda

Ciało poruszające się względem obserwatora ma długość mniejszą niż to samo ciało, gdy mierzy się jego długość w układzie, w którym ciało to spoczywa.

Załóżmy, że ciało porusza się względem układu z prędkością Przez długość ciała poruszającego się z prędkością rozumiemy różnicę współrzędnych dwóch skrajnych punktów tego ciała zmierzonych w tej samej chwili czasu tj.

Z transformacji Lorentza wynikają związki między współrzędnymi a współrzędnymi tego ciała w układzie względem którego ciało spoczywa, tj.

gdzie podstawiono Odejmując stronami powyższe dwa równania otrzyma się:

Podstawiając

– długość ciała spoczywającego,
– długość ciała poruszającego się,

otrzyma się ostatecznie:

Wniosek: Ponieważ więc

tj. ciało ma długość mniejszą względem obserwatora, względem którego jest w ruchu. Przy czym istotne jest nie tyle samo skrócenie, co fakt, iż

Długość jest wielkością względną: to samo ciało ma różne długości względem różnych obserwatorów; największą długość ma ciało dla obserwatora, względem którego ciało spoczywa.

Przykłady:

(1) Jeżeli to Ciało o długości spoczynkowej m będzie miało długość m, czyli około cm.

(2) Bardzo szybkie protony przybywające na Ziemię mają tak duże prędkości, że dysk naszej Galaktyki, mający wg naszych pomiarów rozmiar około 100 000 lat świetlnych, ma w układzie tych protonów rozmiar kilku metrów!

Dylatacja czasu

Odejmując wyrażenia na transformację Lorentza dla dwóch zdarzeń czasoprzestrzennych i definiując przyrosty czasu w każdym z układów odniesienia jako jednostki czasu mierzonego w danym układzie można uzyskać równanie:

We wzorze pojawia się dodatkowo różnica odległości w jednym z układów. Zinterpretowanie tej różnicy jako równej zeru powoduje, że porównuje się współrzędne czasowe wyłącznie jednego zdarzenia, ale w dwu układach odniesienia. Uzyskany wzór określa zatem dylatację czasu

Pole magnetyczne

W teoriach relatywistycznych skalar natężenia pola elektrycznego i wektor natężenia pola magnetycznego można połączyć w jeden czterowektor

Rozważmy cząstkę skalarną naładowaną elektrycznie i pozostającą w bezruchu. W pewnej odległości od tej cząstki zarejestrujemy pole elektryczne i brak pola magnetycznego:

Załóżmy następnie, że naładowana cząstka się porusza, czyli zmieniamy układ współrzędnych na poruszający się względem pierwszego wzdłuż pierwszej osi z prędkością

Czyli poruszający się ładunek generuje pole magnetyczne.

Czynnik jest dla małych prędkości bliski jedności, więc w granicy małych prędkości transformacje Lorentza czterowektora pola elektrycznego sprowadzają się do praw Ampère’a i Biota-Savarta.

Zobacz też

Przypisy

  1. Lorentza przekształcenia, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-08-07].
  2. Trautman 1969 ↓, s. 586.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Sr1.svg
Autor: User:Ysmo, Licencja: CC BY 1.0
Light cone
Lorentz transform of world line.gif
Autor: Cyp, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Changing views of spacetime along the world line of a rapidly accelerating observer

In this animation, the vertical direction indicates time and the horizontal direction indicates distance, the dashed line is the spacetime trajectory ("world line") of an accelerating observer. The small dots are arbitrary events in spacetime that are stationary relative to each other. The events passing the two diagonal lines in the lower half of the picture (the past light cone of the observer) are those that are visible to the observer.

The slope of the world line (deviation from being vertical) gives the relative velocity to the observer. Note how the view of spacetime changes when the observer accelerates. In particular, absolute time is a concept not applicable in Lorentzian spacetime: events move up-and-down in the figure depending on the acceleration of the observer.

Compare this to the absolute time apparent in Image:Galilean transform of world line.gif.
Animated Lorentz Transformation.gif
Autor: Animation by Jonathan Doolin, Licencja: CC BY-SA 2.5
The Lorentz Transformation is capable of intelligible expression in only one or a limited number of ways, but if this particular animation is copied, I'd just as soon be credited, so tag with CC-by-sa 2.5.

The line of dots that cross the horizontal axis represent events that appear simultaneous in one of the reference frames. The lines parallel to these (green if you look closely) are lines of constant time, (lines of simultaneity) in that original frame.

The line of dots that cross the vertical axis are events which occur in the same place at different times in the same reference frame. The lines parallel to these (a little bluish, if you look closely) are lines of constant position, representing the positions of stationary objects in the original frame. These lines are also known as worldlines.

The animation shows when and where those events would occur from the reference of other frames.

The hyperbolic arcs merely show the arcs of where different observers at the origin would observe the events denoted by the large dots.

The diagonals represent the speed of light which never changes.