Transformata Gelfanda

Transformata Gelfanda – dla danej przemiennej algebry Banacha ${\displaystyle A}$ przyporządkowanie

${\displaystyle a\mapsto {\hat {a}},\;\;\;a\in A}$

dane wzorem

${\displaystyle {\hat {a}}(\gamma )=\gamma (a),}$

gdzie ${\displaystyle \gamma }$ jest elementem zbioru ${\displaystyle \Phi _{A},}$ tj. ${\displaystyle \gamma }$ należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry ${\displaystyle A}$ o wartościach w ciele liczb zespolonych^[1]. W zbiorze ${\displaystyle \Phi _{A}}$ wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór ${\displaystyle \Phi _{A}}$ z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry ${\displaystyle A}$). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra ${\displaystyle A}$ ma jedynkę^[2]. Otoczenia bazowe danego punktu ${\displaystyle \gamma _{0}}$ z przestrzeni Gelfanda są postaci

${\displaystyle U_{F}=\{\gamma \in \Phi _{A}\colon |\gamma (a)-\gamma _{0}(a)|<1,\;a\in F\},}$

gdzie ${\displaystyle F}$ jest skończonym podzbiorem ${\displaystyle A.}$ Zbiór

${\displaystyle A_{\Gamma }=\{a\in A\colon \,{\hat {a}}=0\}}$

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry ${\displaystyle A.}$ Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry ${\displaystyle A}$ oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci ${\displaystyle ab-ba,}$ gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są elementami algebry ${\displaystyle A.}$

Transformata Gelfanda

${\displaystyle {\hat {\,\cdot \,}}\colon A\to C(\Phi _{A})}$

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Przypisy

Bibliografia

• H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs.
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303–318.
• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
• Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.).