Transformata Radona

Ten artykuł należy dopracować: → napisać/poprawić definicję, → poprawić styl – powinien być encyklopedyczny. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Niech ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ będzie ciągłą i wystarczająco szybko malejącą w nieskończoności funkcją zmiennych rzeczywistych ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} }$ dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$

Dla dowolnej hiperpłaszczyzny w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Gamma =\{(x_{1},\dots ,x_{n}):\xi _{1}{x_{1}}+\dots +\xi _{n}{x_{n}}=C\},}$

gdzie ${\displaystyle \xi _{i}\in \mathbb {R} ,i=1,\dots ,n}$ i ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}>0,C\in \mathbb {R} }$

definiowana jest całka

${\displaystyle F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C)={\frac {1}{(\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2})^{1/2}}}\int \limits _{\Gamma }f(x_{1},\dots ,x_{n})dV_{\Gamma }}$

gdzie ${\displaystyle V_{\Gamma }}$ jest ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarową objętością na hiperpowierzchni ${\displaystyle \Gamma .}$ Funkcję

${\displaystyle F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C),(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C)\in \mathbb {R} ^{n+1}}$

nazywamy transformatą Radona lub przekształceniem Radona funkcji ${\displaystyle f.}$

Transformatę Radona zdefiniował austriacki matematyk Johann Radon w 1917 roku^[1].

Transformata Radona jest funkcją jednorodną stopnia –1:

${\displaystyle F(\alpha \xi _{1},\dots ,\alpha \xi _{n},\alpha C)={\frac {1}{|\alpha |}}F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C).}$

Związek z transformatą Fouriera ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{1},\dots ,\xi _{n})}$ funkcji ${\displaystyle f{:}}$

${\displaystyle F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C)={\frac {1}{2\pi }}\cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }{{\widehat {f}}(\alpha \xi _{1},\dots ,\alpha \xi _{n})}e^{-i\alpha C}d\alpha .}$

Przypisy

Bibliografia

• Sigurdur Helgason: Groups and Geometric Analysis. Integral Geometry, Invariant Differential Operators and Spherical Functions. Academic Press, 1984.
• Sigurdur Helgason: The Radon transform. Boston, Basel, Stuttgart: Birkhäuser, 1980.