Translacja (matematyka)

Ten artykuł od 2010-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Translacja przesuwa każdy punkt figury bądź przestrzeni o tę samą odległość w ustalonym kierunku

Translacja, przesunięcie równoległe^[1] – przekształcenie prostej, płaszczyzny lub dowolnej przestrzeni afinicznej, które można intuicyjnie rozumieć jako równoległe przesunięcie wszystkich punktów dziedziny bez jej deformacji i obracania.

Definicja

Niech ${\displaystyle \mathbf {v} }$ będzie dowolnym wektorem (swobodnym) pewnej przestrzeni afinicznej ${\displaystyle \mathbf {V} .}$

Translacją ${\displaystyle T_{v}}$ nazywamy przekształcenie dane wzorem:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(x)=x+\mathbf {v} .}$

Wektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ nazywamy wektorem translacji.

Niekiedy także obraz figury ${\displaystyle A}$ w przekształceniu ${\displaystyle T_{v}}$ nazywa się translacją figury ${\displaystyle A}$ o wektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ i oznacza ${\displaystyle A+\mathbf {v} .}$

Własności

Jeśli ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} ,}$ to translacja ${\displaystyle T}$ jest przekształceniem tożsamościowym; jeśli zaś ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} ,}$ to ${\displaystyle T}$ nie ma żadnego punktu stałego.

Translacje wraz ze składaniem tworzą grupę izomorficzną z grupą addytywną przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną. Jest więc izomorficzna z grupą wektorów swobodnych.

Translacja w przestrzeniach euklidesowych^[2] jest izometrią, nie zmienia zatem kształtu figury ani żadnej relacji wewnętrznej między jej elementami, natomiast zmienia jej położenie w stosunku do pozostałych (nie podlegających translacji) figur.

Ważną własnością grupy translacji w przestrzeniach euklidesowych jest to, że dla dowolnej translacji ${\displaystyle T}$ i dowolnej izometrii ${\displaystyle G}$ przekształcenie ${\displaystyle GTG^{-1}}$ też jest translacją. W języku teorii grup oznacza to, że grupa translacji jest podgrupą normalną grupy izometrii. Ponadto Iloraz grupy izometrii przez podgrupę translacji jest izomorficzny z grupą ortogonalną.

Niezmiennikiem definiującym grupę translacji jest długość i zwrot wektora.

Wśród wielu niezmienników izometrii najważniejszymi niezmiennikami translacji są:

• kierunek (tzn. klasa prostych równoległych),
• odległość punktów,
• orientacja przestrzeni.

Każda translacja prostej jest złożeniem dwóch symetrii punktowych, translacja na płaszczyźnie jest złożeniem pewnych dwóch symetrii osiowych o równoległych osiach, analogicznie translacja w przestrzeni jest złożeniem dwóch symetrii płaszczyznowych o równoległych płaszczyznach.

Każda translacja jest złożeniem pewnych dwóch symetrii środkowych (w przestrzeniach dowolnego wymiaru).

Przypisy