Twierdzenia Mertensa

Twierdzenia Mertensa – twierdzenia dotyczące gęstości liczb pierwszych udowodnione w 1874 przez Franciszka Mertensa.

Sformułowanie

We współczesnej notacji wykorzystującej symbol Landaua twierdzenia Mertensa mogą być zapisane w postaci:

• ${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {\log {p}}{p}}=\log {x}+O(1).}$
• ${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log {\log {x}}+M+O({\frac {1}{\log {x}}}),}$

gdzie ${\displaystyle M}$ jest stałą Meissela-Mertensa.

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log {x}\prod _{p\leqslant x}(1-{\frac {1}{p}})=e^{-\gamma },}$

gdzie ${\displaystyle \gamma }$ jest stałą Eulera-Mascheroniego.

Zmiany znaku

Guy Robin udowodnił w 1983, że funkcje ${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}-\log {\log {x}}-M}$ oraz ${\displaystyle \log {x}\prod _{p\leqslant x}(1-{\frac {1}{p}})-e^{-\gamma }}$ (związane z drugim i trzecim twierdzeniem Mertensa) zmieniają znak nieskończenie wiele razy.

Bibliografia

• F. Mertens, Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, J. reine angew. Math. 78 (1874), 46-62.
• G. Robin, Sur l’ordre maximum de la fonction somme des diviseur. Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progress in Mathematics 38 (1983): 233–244.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].