Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta – twierdzenie algebraiczne mówiące, że pojęcie pierwiastka wielomianu odpowiada wprost pojęciu miejsca zerowego odpowiadającej mu funkcji wielomianowej^[1].

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {R}}}$ jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu ${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {R}}[x]}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian ${\displaystyle g(x)\in {\mathcal {R}}[x]}$, że ${\displaystyle f(x)=(x-a)g(x).}$ Ponadto ${\displaystyle \deg g(x)=\deg f(x)-1}$^[1].

Dowód

Niech ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{0}.}$ Korzystając ze wzoru ${\displaystyle x^{k}-y^{k}=(x-y)(x^{k-1}+x^{k-2}y+...+y^{k-1}),}$ możemy zapisać

${\displaystyle f(x)-f(y)=(x-y)F(x,y),\;F(x,y)=\sum _{i,j\leq 0}a_{i+j+1}x^{i}y^{j}}$ (przyjmując, że ${\displaystyle a_{k}=0}$ dla ${\displaystyle k>\deg f(x)}$).

Widać, że ${\displaystyle F(x,y)}$ jest wielomianem stopnia ${\displaystyle n-1.}$

Zakładając kolejno

${\displaystyle f(y)=0\Rightarrow f(x)=(x-y)F(x,y),}$

${\displaystyle f(x)=(x-y)F(x,y)\Rightarrow f(y)=0,}$

otrzymujemy tezę^[2].

Równość Bézouta

Wartość wielomianu ${\displaystyle f(x)}$ w punkcie ${\displaystyle y}$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu ${\displaystyle f(x)}$ przez dwumian ${\displaystyle x-y.}$

Istotnie, ostatnia równość z dowodu pokazuje, że^[3]:

${\displaystyle f(x)=g(x)(x-y)+f(y)}$.

Równość tę nazywamy równością Bézouta^[1].

Przykład

Wielomian ${\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$ w dzieleniu przez ${\displaystyle x-3}$ daje wielomian ${\displaystyle g(x)=x^{2}-9x-27}$ i resztę ${\displaystyle r=-123.}$ Z powyższego wniosku wynika, że ${\displaystyle f(3)=-123,}$ gdyż

${\displaystyle f(x)=(x^{2}-9x-27)(x-3)-123.}$

Zobacz też

• schemat Hornera

Przypisy