Twierdzenie Baire’a

Twierdzenie Baire’a – twierdzenie w topologii mówiące, że przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych w przestrzeni zupełnej jest zbiorem brzegowym. Twierdzenie to zostało nazwane na cześć francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zupełną przestrzenią topologiczną i niech ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots \subseteq X}$ będzie przeliczalną rodziną domkniętych zbiorów nigdziegęstych. Niech ${\displaystyle E}$ oznacza sumę mnogościową tych zbiorów:

${\displaystyle E=F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \cup F_{k}\cup \cdots }$

Wówczas ${\displaystyle E}$ jest zbiorem brzegowym.

Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.

Równoważnie: W przestrzeni zupełnej ${\displaystyle \left(X,d\right)}$ każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód: Niech ${\displaystyle A}$ będzie zbiorem I kategorii, czyli ${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n}A_{n}}$ gdzie ${\displaystyle A_{n}}$ jest nigdziegęsty dla dowolnego ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Pokażemy, że ${\displaystyle A}$ jest brzegowy, czyli ${\displaystyle {\overline {X\backslash A}}=X.}$

Niech ${\displaystyle K_{0}}$ będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że ${\displaystyle K_{0}\cap (X\backslash A)\neq \emptyset .}$ Skoro ${\displaystyle A_{1}}$ jest nigdziegęsty, to istnieje kula ${\displaystyle K_{1}\subset K_{0},}$ że ${\displaystyle K_{1}\cap A_{1}=\emptyset .}$ Możemy przyjąć, że ${\displaystyle K_{1}}$ jest kulą domkniętą oraz ${\displaystyle \delta (K_{1})<1}$ (gdzie ${\displaystyle \delta }$ oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli ${\displaystyle K_{1}}$ znajdziemy kulę domkniętą ${\displaystyle K_{2},}$ że ${\displaystyle K_{2}\cap A_{2}=\emptyset }$ i ${\displaystyle \delta (K_{2})<{\frac {1}{2}}.}$

Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych ${\displaystyle \{K\}_{n}}$ taki, że: dla dowolnego ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mamy: ${\displaystyle K_{n}\cap A_{n}=\emptyset ,}$ ${\displaystyle K_{n+1}\subset K_{n},}$ ${\displaystyle \delta (K_{n})<{\frac {1}{n}}.}$ Z twierdzenia Cantora, mamy:

${\displaystyle \bigcap \limits _{n}K_{n}\neq \emptyset .}$

Zatem: ${\displaystyle \emptyset \neq \bigcap \limits _{n}K_{n}\subset \bigcap \limits _{n}(X\backslash A_{n})=X\backslash \bigcup \limits _{n}A_{n}=X\backslash A}$

oraz

${\displaystyle \bigcap \limits _{n}K_{n}\subset K_{0},}$

więc

${\displaystyle \bigcap \limits _{n}K_{n}\subset K_{0}\cap (X\backslash A)\neq \emptyset .}$ ${\displaystyle \square }$

Zastosowania

Twierdzenie Baire’a ma liczne zastosowania. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się je w dowodach takich twierdzeń, jak: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, twierdzenie o wykresie domkniętym, twierdzenie Banacha-Steinhausa.

Z twierdzenia Baire’a wynika także fakt, że każda przestrzeń metryczna zupełna bez punktów izolowanych jest nieprzeliczalna. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych

Stefan Banach użył twierdzenia Baire’a do dowodu istnienia funkcji ciągłych na odcinku ${\displaystyle [0,1],}$ które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie swojej dziedziny^[1]. Dowód Banacha pokazuje, że zbiór funkcji które mają pochodną w choć jednym punkcie jest I kategorii, tj. jest topologicznie mały.

Dowód. Niech ${\displaystyle C[0,1]}$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku ${\displaystyle [0,1]}$ z normą supremum. Ponadto niech dla wszelkich liczb naturalnych ${\displaystyle k\geqslant 1}$ dany będzie zbiór

${\displaystyle N_{k}=\left\{f\in C[0,1]\colon \,\exists _{x\in [0,1]}\ \forall _{h\neq 0}\ \left|{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right|\leqslant k\right\}.}$

Zbiory ${\displaystyle N_{k}}$ (${\displaystyle k}$ jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech ${\displaystyle (f_{n})}$ będzie ciągiem funkcji ze zbioru ${\displaystyle N_{k}}$ zbieżnym do pewnej funkcji ${\displaystyle f\in C[0,1].}$ Niech ${\displaystyle x_{n}}$ będzie punktem dla którego funkcja ${\displaystyle f_{n}}$ spełnia warunek w definicji zbioru ${\displaystyle N_{k}}$ oraz niech ${\displaystyle x_{0}}$ będzie punktem skupienia ciągu ${\displaystyle (x_{n})}$ (punkt taki istnieje, co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka ${\displaystyle [0,1]}$). Wówczas funkcja graniczna ${\displaystyle f}$ spełnia warunek określający zbiór ${\displaystyle N_{k}}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0},}$ tj. ${\displaystyle f\in N_{k},}$ co dowodzi domkniętości.

Niech ${\displaystyle A}$ będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresami są łamane). Zbiór ten jest gęsty w ${\displaystyle C[0,1].}$ Ponadto każdą funkcję ze zbioru ${\displaystyle A,}$ można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru ${\displaystyle N_{k}.}$ Wynika stąd, iż

${\displaystyle C[0,1]={\overline {A}}\subseteq {\overline {C[0,1]\setminus N_{k}}}\;\;(k\in \mathbb {N} ),}$

co w szczególności implikuje, że każdy ze zbiorów ${\displaystyle N_{k}}$ ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory ${\displaystyle N_{k}}$ są brzegowe.

Każdy ze zbiorów ${\displaystyle N_{k}}$ jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty. Z twierdzenia Baire’a wynika, że

${\displaystyle \bigcup _{k=1}^{\infty }N_{k}\neq C[0,1].}$

Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru ${\displaystyle N_{k},}$ a zatem zbiór funkcji ciągłych na ${\displaystyle [0,1]}$ które mają pochodną w choć jednym punkcie jest pierwszej kategorii. Istnieją więc funkcje ciągłe na odcinku ${\displaystyle [0,1]}$ bez pochodnych w żadnym punkcie. ${\displaystyle \square }$

Zobacz też

• przestrzeń Baire’a
• twierdzenie Banacha-Steinhausa
• własność Baire’a
• zbiór nigdziegęsty
• zbiór pierwszej kategorii

Przypisy