Twierdzenie Besicovitcha o pokryciu

Twierdzenie Besicovitcha o pokryciu – jedno z dwóch podstawowych twierdzeń o pokryciu noszące nazwisko Abrama Besicovitcha, uogólnienie twierdzenia Vitalego na ogólniejsze miary Radona na przestrzeniach euklidesowych; z geometrycznego punktu widzenia twierdzenie Vitalego daje pokrycie kulami powiększonymi w stosunku do wyjściowych, z kolei twierdzenie Besicovitcha wykorzystuje kule pokrycia wyjściowego kosztem pewnego kontrolowanego nakładania się kul.

Zasadniczym zastosowaniem twierdzenia jest wykorzystanie w dowodzie twierdzenia Lebesgue’a-Besicovitcha o różniczkowaniu miar (dzięki możliwości „wypełnienia” dowolnego zbioru otwartego przeliczalną rodziną kul (parami) rozłącznych w taki sposób, że pozostała niewypełniona część jest miary zero), a dzięki temu twierdzenia Lebesgue’a o punktach gęstości dla miar Radona.

Twierdzenie

Istnieje stała ${\displaystyle N_{n}}$ zależąca wyłącznie od wymiaru przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ o następującej własności:

jeśli ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest dowolną rodziną niezdegenerowanych kul domkniętych w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ dla których

${\displaystyle \sup {\bigl \{}\operatorname {diam} B\colon B\in {\mathcal {F}}{\bigr \}}<+\infty ,}$

i jeżeli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem środków kul w ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ to istnieje ${\displaystyle N_{n}}$ przeliczalnych rodzin ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},\dots ,{\mathcal {G}}_{N_{n}}}$ kul (parami) rozłącznych w ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ dla których

${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B.}$

Literatura

• A. S. Besicovitch. A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, I. „Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”. 41 (02), s. 103–110, 1945-06. DOI: 10.1017/S0305004100022453. 
• A. S. Besicovitch. A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, II. „Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”. 42 (01), s. 205–235, 1946-02. DOI: 10.1017/s0305004100022660.