Twierdzenie Borsuka-Ulama

Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach – twierdzenie topologiczne, które w swojej popularnonaukowej wersji mówi, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same.

Według Matouška^[1] ogólne sformułowanie twierdzenia pojawia się po raz pierwszy w pracy Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana z 1930 roku^[2]. Samo twierdzenie nosi jednak nazwisko Karola Borsuka, który jako pierwszy podał jego dowód w pracy opublikowanej w Fundamenta Mathematicae z 1933 roku^[3], gdzie przypisuje on autorstwo tezy Stanisławowi Ulamowi.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle S^{n}}$ oznacza ${\displaystyle n}$-wymiarową sferę (jednostkową) przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$ Dla dowolnej funkcji ciągłej

${\displaystyle f\colon S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

istnieje (co najmniej jeden) taki punkt ${\displaystyle x\in S^{n},}$ że

${\displaystyle f(x)=f(-x).}$

Równoważne sformułowania^[4]

Istnieje kilka faktów topologicznych równoważnych twierdzeniu Borsuka-Ulama. Zazwyczaj wykorzystuje się je w dowodach.

1) Twierdzenie Borsuka-Ulama

2) Ciągła funkcja nieparzysta (czyli zachodzi: ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$) ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ posiada ${\displaystyle x\in S^{n},}$ taki że ${\displaystyle f(x)=0.}$

3) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste przekształcenie ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n-1}}$(dla ${\displaystyle n\geqslant 2}$).

4) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste na: ${\displaystyle S^{n-1}=\delta B^{n}}$ odwzorowanie ${\displaystyle f:B^{n}\to S^{n-1}.}$

Dowód

Przy użyciu kohomologii

Niech ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n-1}}$ będzie ciągłym i nieparzystym odwzorowaniem.

Przechodząc do topologii ilorazowej zadanej relacją: ${\displaystyle x\simeq y\Leftrightarrow x=-y}$ dzięki nieparzystości ${\displaystyle f}$ dostaniemy ciągłe odwzorowanie: ${\displaystyle f':P^{n}(\mathbb {R} )\to P^{n-1}(\mathbb {R} ),}$ gdzie ${\displaystyle P^{n}(\mathbb {R} )}$ oznacza n-wymiarową, rzeczywistą przestrzeń rzutową. Z twierdzenia Hurewicza indukuje to homomorfizm pierścieni kohomologii ze współczynnikami z ciała ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}{:}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{n})=H^{*}(P^{n-1}(\mathbb {R} );\mathbb {F} _{2})\to H^{*}(P^{n}(\mathbb {R} );\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[y]/(y^{n+1}),}$

który na ${\displaystyle x}$ przybiera wartość ${\displaystyle y,}$ ale: ${\displaystyle x^{n}=0,}$ a ${\displaystyle y^{n}\neq 0.}$ To daje sprzeczność.

Przypisy

Bibliografia

• Jiří Matoušek, Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag, 2003. ISBN 3-540-00362-2. doi:10.1007/978-3-540-76649-0.