Twierdzenie Carathéodory’ego-Fejéra

Twierdzenie Carathéodory’ego-Fejéra – klasyczne twierdzenie analizy zespolonej dotyczące funkcji analitycznych w kole jednostkowym płaszczyzny zespolonej, które są w pewnym sensie rozwinięciami wielomianów, przypominającymi rozwinięcia Taylora, o pewnych szczególnych własnościach. Twierdzenie udowodnione w roku 1911 przez Constantina Carathéodory’ego i Lipóta Fejéra[1].

Twierdzenie

Niech będzie wielomianem zmiennej zespolonej. Istnieje wówczas dokładnie jedna funkcja:

która jest analityczna w kole jednostkowym oraz minimalizuje funkcjonał

spośród wszystkich (analitycznych) rozwinięć postaci

Ponadto, jeżeli jest skończonym iloczynem Blaschke’go oraz to ma co najwyżej n zer.

Przypisy

  1. C. Carathéodory, L. Fejér, Über den zusammenhang der extremen von harmonischen funktionen mit ihren Keoffizienten und über den Picard-Landauschen Satz, Rend. Circ. Mat. Palermo 32 (1911), s. 218–239.