Twierdzenie Cauchy’ego (rachunek różniczkowy)

Twierdzenie Cauchy’ego – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym. Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a, a przez to – twierdzenia Rolle’a.

Ma ono ważne zastosowania teoretyczne. Pozwala między innymi oszacować błąd we wzorze Taylora oraz uzasadnić regułę de l’Hospitala.

Twierdzenie

Jeżeli dane funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są:

• ciągłe w przedziale domkniętym ${\displaystyle [a,b],}$
• różniczkowalne w przedziale ${\displaystyle (a,b),}$

to istnieje punkt ${\displaystyle c}$ należący do przedziału ${\displaystyle (a,b)}$ taki, że:

${\displaystyle g'(c)\cdot \left[f(b)-f(a)\right]=f'(c)\cdot \left[g(b)-g(a)\right].}$

Dowód

Zdefiniujmy ${\displaystyle h:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle h(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x).}$

Zauważmy, że ${\displaystyle h}$ jest różniczkowalna na ${\displaystyle (a,b)}$ oraz ${\displaystyle h(a)=h(b),}$ więc na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje ${\displaystyle c\in (a,b)}$ takie, że ${\displaystyle h'(c)=0.}$ Ponadto

${\displaystyle 0=h'(c)=(f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c),}$

co kończy dowód.

Wniosek

Jeżeli funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są:

• ciągłe w przedziale domkniętym ${\displaystyle [a,b],}$ różniczkowalne w przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ oraz dodatkowo ${\displaystyle g'(x)\not =0}$ dla ${\displaystyle x\in (a,b),}$

to istnieje taki punkt ${\displaystyle c\in (a,b),}$ że:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}.}$

Zobacz też

• twierdzenie całkowe Cauchy’ego

Bibliografia

• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 144. ISBN 83-01-13554-9.
• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994, s. 199. ISBN 83-01-02175-6.
• Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976, s. 107–108. ISBN 0-07-054235-X.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Extended Mean-Value Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].
• Cauchy theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].