Twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)

Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie przypisywane Cauchy’emu, podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle A,B}$ będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór

${\displaystyle \det(AB)=\det A\cdot \det B.}$

Dowód

• Niech

${\displaystyle A=[a_{ij}]\in M,B=[b_{ij}],\ i,j=1,\dots ,n}$

• Rozważmy macierz klatkową

${\displaystyle P:={\begin{bmatrix}A&0\\-I&B\end{bmatrix}}.}$

• Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej: ${\displaystyle \det P=\det A\cdot \det B\ \ (\star )}$
• Wykonując operacje elementarne na macierzy ${\displaystyle P}$ sprowadzimy ją do postaci ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&AB\\-I&0\end{bmatrix}}}$

Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy ${\displaystyle P}$ przez element ${\displaystyle b_{11},}$ drugą kolumnę przez ${\displaystyle b_{21},}$ trzecią przez ${\displaystyle b_{31},\dots ,}$ n-tą przez ${\displaystyle b_{n1},}$ a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\dots +a_{1n}b_{n1}&0&\dots &0\\&A&&\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+\dots +a_{nn}b_{n1}&0&\dots &0\\&&&0&b_{12}&\dots &b_{1n}\\&-I&&\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&0&b_{n2}&\dots &b_{nn}\end{bmatrix}}}$

Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element ${\displaystyle b_{12},}$ drugą kolumnę przez ${\displaystyle b_{22},}$ trzecią przez ${\displaystyle b_{32},\dots ,}$ n-tą przez ${\displaystyle b_{n2},}$ a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\dots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\dots +a_{1n}b_{n2}&0&\dots &0\\&A&&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+\dots +a_{nn}b_{n1}&a_{n1}b_{12}+a_{n2}b_{22}+\dots +a_{nn}b_{n2}&0&\dots &0\\&&&0&0&b_{13}&\dots &b_{1n}\\&-I&&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&0&0&b_{n3}&\dots &b_{nn}\end{bmatrix}}}$

Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:

${\displaystyle Q:={\begin{bmatrix}A&AB\\-I&0\end{bmatrix}}.}$

• Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika, więc ${\displaystyle \det P=\det Q.}$
• Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej mamy: ${\displaystyle \det Q=(-1)^{n^{2}}\det(-I)\det(AB)=(-1)^{n^{2}}\cdot (-1)^{n}\det I\det(AB)=\det(AB)\ \ (\star \star )}$

${\displaystyle (n^{2}+n}$ jest zawsze parzyste, więc ${\displaystyle (-1)^{n^{2}+n}=1)}$

• ${\displaystyle (\star ),(\star \star )\Rightarrow \det A\cdot \det B=\det P=\det Q=\det(AB).}$ Co kończy dowód twierdzenia.

Wnioski

• ${\displaystyle \det(AB)=\det A\cdot \det B=\det B\cdot \det A=\det(BA)}$
• Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest macierzą odwracalną, wówczas jest ona także nieosobliwa. Ponieważ ${\displaystyle \det I=1}$ oraz ${\displaystyle AA^{-1}=I,}$ to ${\displaystyle \det AA^{-1}=1}$ i dalej ${\displaystyle \det A\cdot \det A^{-1}=1,}$ a stąd ${\displaystyle \det A^{-1}=(\det A)^{-1}.}$ Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
• Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B}$ będą takimi macierzami, wtedy

  ${\displaystyle \det B=\det(P^{-1}AP)=\det(PP^{-1}A)=\det A.}$

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 241.