Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego^[1]. Nazwa upamiętnia matematyków: Arthura Cayleya i Williama Hamiltona

Dokładniej; jeżeli ${\displaystyle A}$ jest macierzą ${\displaystyle n\times n}$ oraz ${\displaystyle I_{n}}$ jest macierzą identycznościową ${\displaystyle n\times n}$ to wielomian charakterystyczny ${\displaystyle A}$ jest zdefiniowany jako:

${\displaystyle w(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A),}$

gdzie ${\displaystyle \det }$ oznacza wyznacznik.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawienie ${\displaystyle A}$ do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:

${\displaystyle w(A)=0_{n}.}$

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya-Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.

Przykład

Rozważmy macierz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}.}$

Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:

${\displaystyle w(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.}$

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0_{2}}$

czyli:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}-5A-2I_{2}&={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{2}-5\cdot {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}-2\cdot {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}5&10\\15&20\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.

Biorąc powyższe wyniki

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0_{2}}$

${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}.}$

policzmy ${\displaystyle A^{4}{:}}$

${\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}}$

${\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A}$

${\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}.}$

Przypisy

Bibliografia

• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. XXI. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-01460-1.