Twierdzenie Cevy (trygonometryczne)

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem Twierdzenie Cevy. Uzasadnienie: to twierdzenie (w obie strony) jest prostym wnioskiem z Twierdzenia Cevy: tezy obu twierdzeń są identyczne, dowody powołują się na Twierdzenie Cevy

Wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy pozwala na pokazanie, że proste Cevy w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, gdy mamy pewne dane o kątach, ale nie mamy danych o tym, w jakim stosunku te proste dzielą boki trójkąta.

Treść

Jeżeli proste Cevy ${\displaystyle AD,}$ ${\displaystyle BE,}$ ${\displaystyle CF}$ w trójkącie ${\displaystyle ABC}$ przecinają się w jednym punkcie, to przy oznaczeniach kątów jak na rysunku zachodzi równość:

${\displaystyle \sin \alpha _{1}\cdot \sin \beta _{1}\cdot \sin \gamma _{1}=\sin \alpha _{2}\cdot \sin \beta _{2}\cdot \sin \gamma _{2}.}$

Dowód

Z twierdzenia Cevy mamy:

${\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1.}$

Z twierdzenia sinusów mamy:

${\displaystyle {\frac {|AF|}{|AC|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \angle AFC}}}$

oraz

${\displaystyle {\frac {|FB|}{|BC|}}={\frac {\sin \gamma _{1}}{\sin \angle BFC}},}$

${\displaystyle \sin \angle BFC=\sin \angle AFC,}$ (kąty przyległe),

więc

${\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {AC}{BC}}.}$

Podobnie

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {AB}{AC}},}$

${\displaystyle {\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}\cdot {\frac {BC}{AB}}.}$

Mnożąc stronami, dostajemy

${\displaystyle 1={\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}.}$

Twierdzenie odwrotne

Jeżeli proste Cevy spełniają przy oznaczeniach jak na rysunku

${\displaystyle \sin \alpha _{1}\cdot \sin \beta _{1}\cdot \sin \gamma _{1}=\sin \alpha _{2}\cdot \sin \beta _{2}\cdot \sin \gamma _{2},}$

to przecinają się w jednym punkcie.

Dowód

Dowód prowadzimy korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy i analogicznie za pomocą zależności

${\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {AC}{BC}},}$

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {AB}{AC}},}$

${\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}\cdot {\frac {BC}{AB}},}$

sprowadzamy równość

${\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1}$

do postaci trygonometrycznej

${\displaystyle 1={\frac {\sin \gamma _{2}}{\sin \gamma _{1}}}\cdot {\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \alpha _{1}}}\cdot {\frac {\sin \beta _{2}}{\sin \beta _{1}}}.}$

Zastosowania

Za pomocą twierdzenia można łatwo udowodnić, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się dwusieczne, symediany, wysokości, środkowe. Nie znaczy to jednak, że punkty przecięcia np. wysokości i symetralnych są tym samym punktem. Taki przypadek występuje tylko w trójkącie równobocznym.

Zobacz też

• twierdzenie Cevy