Twierdzenie Chinczyna

Twierdzenie Wienera-Chinczyna (twierdzenie Chinczyna-Wienera) głosi, że widmowa gęstość mocy słabo stacjonarnego procesu jest transformatą Fouriera odpowiadającej procesowi funkcji autokorelacji^[1][2][3].

W przypadku ciągłym:

${\displaystyle S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\ d\tau ,}$

gdzie:

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\operatorname {E} {\big [}\,x(t)x^{*}(t-\tau )\,{\big ]}}$

jest funkcją autokorelacji wyrażoną przez statystyczną wartość oczekiwaną, oraz gdzie

${\displaystyle S_{xx}(f)}$

oznacza widmową gęstość mocy procesu ${\displaystyle x(t).}$

Symbol gwiazdki oznacza sprzężenie zespolone, może zostać pominięty dla procesu losowego o wartościach rzeczywistych.

Przypadek dyskretny:

${\displaystyle S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-j2\pi kf},}$

gdzie:

${\displaystyle r_{xx}[k]=\operatorname {E} {\big [}\,x[n]x^{*}[n-k]\,{\big ]}}$

oraz

${\displaystyle S_{xx}(f)}$

jest widmową gęstością mocy ${\displaystyle x[n].}$ Jest w tym przypadku funkcją okresową w dziedzinie częstotliwości.

Zastosowania

Twierdzenie wykorzystywane jest w analizie liniowych układów niezależnych od czasu. Pozwala na badanie układu, gdy sygnał wejściowy nie jest całkowalny z kwadratem i nie posiada transformaty Fouriera.

Przypisy