Twierdzenie Diniego

Twierdzenie Diniego – kryterium badania zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych funkcji rzeczywistych.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ będzie zbiorem zwartym (np. przedziałem domkniętym), ${\displaystyle f_{n},f\colon D\to \mathbb {R} }$ będą funkcjami ciągłymi i ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Jeśli

1. ciąg ${\displaystyle f_{n}}$ jest monotoniczny,
2. ciąg ${\displaystyle f_{n}}$ jest punktowo zbieżny do ${\displaystyle f,}$

to jest jednostajnie zbieżny do ${\displaystyle f.}$

Uogólnienia

• Niech ${\displaystyle (X,d)}$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią metryczną. ${\displaystyle f_{n},f\colon X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} }$ będą ciągłe. Jeśli ciąg ${\displaystyle f_{n}}$ jest monotonicznie malejący i punktowo zbieżny do ${\displaystyle f,}$ to jest niemal jednostajnie zbieżny do ${\displaystyle f.}$
• Niech ${\displaystyle X}$ będzie zwartą przestrzenią topologiczną i niech ${\displaystyle f_{n}}$ będzie monotonicznie rosnącym ciągiem funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych, punktowo zbieżnym do ciągłej funkcji ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} .}$ Wówczas ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do ${\displaystyle f.}$

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.