Twierdzenie Gelfonda-Schneidera

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest częściowym rozwiązaniem 7 problemu Hilberta.

Twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle \alpha \ (\alpha \neq 0,\ \alpha \neq 1)}$ i ${\displaystyle \beta }$ są liczbami algebraicznymi, ${\displaystyle \beta }$ nie jest liczbą wymierną, to każda wartość ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ jest liczbą przestępną.

Uwagi

• ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ nie muszą być liczbami rzeczywistymi – w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
• W ogólności ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \},}$ gdzie „log” oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot „każda wartość”.
• Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący:

jeżeli ${\displaystyle \alpha ,\ (\alpha \neq 0,\ \alpha \neq 1)}$ oraz ${\displaystyle \gamma }$ są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to ${\displaystyle (\log \gamma )/(\log \alpha )}$ jest albo liczbą wymierną, albo przestępną.

• Pominięcie wymogu, by ${\displaystyle \beta }$ było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np. ${\displaystyle \alpha =3}$ i ${\displaystyle \beta =\log 2/\log 3}$ (jest to liczba przestępna), to ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=2}$ jest liczbą algebraiczną. Pełny opis wartości tych ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta ,}$ dla których ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ jest liczbą przestępną nie jest znany.

Zastosowania

Bezpośrednio z twierdzenia Gelfonda wynika, że następujące liczby są przestępne:

• Stała Gelfonda-Schneidera: ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ oraz liczba ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.}$
• Stała Gelfonda: ${\displaystyle e^{\pi }=\exp\{-i\,\log(-1)\}}$ jest jedną z wartości ${\displaystyle (-1)^{-i}.}$

Zobacz też

• dowód niekonstruktywny
• twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa
• hipoteza Schanuela – twierdzenia Gelfonda i twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa są wnioskami z tej hipotezy