Twierdzenie Gerszgorina

Twierdzenie Gerszgorina – twierdzenie pozwalające nałożyć ograniczenia na wartości własne macierzy o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Po raz pierwszy zostało opublikowane w roku 1931 przez matematyka pochodzenia białoruskiego, Siemiona Gerszgorina.

Treść twierdzenia oraz dowód

Niech będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze z elementami Dla niech gdzie oznacza moduł z liczby Niech będzie domkniętym kołem o środku w i promieniu Takie koła są nazywane kołami Gerszgorina.

Twierdzenie Gerszgorina: każda wartość własna macierzy leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół

Dowód: Niech będzie wartością własną oraz odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech będzie takie, iż Wtedy gdyż w przeciwnym wypadku co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo-wektorowy):

obustronnie odejmując dostajemy:

I dzielimy obustronnie przez (z wyboru i wiemy, że ), a także obkładamy modułami:

Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku mamy

Ponieważ wartości własne macierzy są takie same jak macierzy twierdzenie to można wzmocnić – wszystkie wartości własne macierzy muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy i sumy kół dla macierzy

W szczególnym przypadku dla macierzy diagonalnej mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.

Bibliografia

  • S. Gerschgorin, Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, „Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk” 7 (1931), s. 749–754.
  • R.S. Varga, Geršgorin and His Circles, Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-21100-4. Errata.
  • Andrzej Turowicz, Geometria zer wielomianów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1967.

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie