Twierdzenie Goldstine’a

Twierdzenie Goldstine’a – twierdzenie mówiące, że obraz kuli jednostkowej ${\displaystyle B_{X}}$ przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ poprzez kanoniczne odwzorowanie w drugą przestrzeń sprzężoną ${\displaystyle X^{**}}$

${\displaystyle \kappa _{X}\colon X\to X^{**},\langle \kappa _{X}x,f\rangle =\langle f,x\rangle \quad (x\in X,f\in X^{*})}$

jest gęsty w kuli jednostkowej ${\displaystyle B_{X^{**}}}$ przestrzeni ${\displaystyle X^{**}}$ w sensie *-słabej topologii (tzn. topologii ${\displaystyle \sigma (X^{**},X^{*})}$), tj.

${\displaystyle {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}=B_{X^{**}}.}$

W szczególności, obraz samej przestrzeni ${\displaystyle X}$ poprzez odwzorowanie ${\displaystyle \kappa _{X}}$ jest gęsty w ${\displaystyle X^{**}}$ w sensie *-słabej topologii.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Heine Goldstine’a, który udowodnił nieco mniej ogólną jego wersję w 1938 roku^[1].

Dowód

Z wypukłości kuli ${\displaystyle B_{X}}$ oraz liniowości ${\displaystyle \kappa _{X}}$ wynika, że obraz ${\displaystyle \kappa _{X}(B_{X})}$ jest wypukłym podzbiorem ${\displaystyle X^{**}.}$ Ponieważ ${\displaystyle X^{**}}$ z *-słabą topologią jest przestrzenią liniowo-topologiczną, domknięcie ${\displaystyle \kappa _{X}(B_{X})}$ jest również zbiorem wypukłym. Jako zbiór *-słabo domknięty w ${\displaystyle B_{X^{**}},}$ z twierdzenia Banacha-Alaoglu, jest on *-słabo zwarty. Gdyby zbiór ten nie był całą kulą ${\displaystyle B_{X^{**}},}$ to istniałby funkcjonał ${\displaystyle \varphi \in B_{X^{**}},}$ który nie należy do domknięcia ${\displaystyle \kappa _{X}(B_{X}).}$ Z twierdzenia o oddzielaniu istniałby wówczas funkcjonał ${\displaystyle f\in X^{*}}$ oraz liczba ${\displaystyle a>0}$ o tej własności, że

${\displaystyle \mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle >a>\sup {\big \{}\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,x\rangle \colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}=\sup {\big \{}|\langle \kappa _{X^{*}}f,x\rangle |\colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}.}$

Z drugiej jednak strony,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sup {\big \{}|\langle \kappa _{X^{*}}f,x\rangle |\colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}\\={}&\sup {\big \{}|\langle x,f\rangle |\colon x\in {\overline {\kappa _{X}(B_{X})}}^{\mathrm {w} ^{*}}{\big \}}\\\geqslant {}&\sup {\big \{}|\langle x,f\rangle |\colon x\in \kappa _{X}(B_{X}){\big \}}\\={}&\sup {\big \{}|\langle f,x\rangle |\colon x\in B_{X}{\big \}}\\={}&\|f\|.\end{aligned}}}$

To jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż

${\displaystyle |\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle |\leqslant |\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle |=|\langle \varphi ,f\rangle |\leqslant \|\varphi \|\cdot \|f\|\leqslant \|f\|}$

(bo ${\displaystyle \varphi }$ należy do ${\displaystyle B_{X^{**}}}$), ale

${\displaystyle \|f\|<\mathrm {Re} \,\langle \kappa _{X^{*}}f,\varphi \rangle }$^[2][3].

Uwagi

W 1948 Jacques Dixmier udowodnił, że twierdzenie w pewnym sensie przeciwne w konktekście *-słabych topologii w przestrzeni sprzężonej nie jest prawdziwe. Dokładniej, istnieje przestrzeń Banacha ${\displaystyle X}$ o tej własności, że dla pewnej podprzestrzeni ${\displaystyle F}$ jej przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*},}$ która jest *-słabo gęsty i dla każdego ${\displaystyle 0<r\leqslant 1}$ zbiór

${\displaystyle B_{r}\cap F}$

nie jest *-słabo gęsty. ${\displaystyle B_{r}}$ oznacza kulę w przestrzeni ${\displaystyle X^{*}}$ o środku w zerze i promieniu ${\displaystyle r}$^[4].

Przypisy

Bibliografia

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.