Twierdzenie Greena

Niech ${\displaystyle D}$ będzie obszarem normalnym, takim że ${\displaystyle x\in [a,b]}$ oraz ${\displaystyle g_{1}(x)<y<g_{2}(x),}$ wtedy brzeg ${\displaystyle D}$ możemy podzielić na krzywe gładkie ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},}$ co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greena – twierdzenie analizy matematycznej wiążące pewne całki krzywoliniowe – konkretniej całki okrężne na płaszczyźnie – z całkami podwójnymi^[1]. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa, które już nie zawiera warunku płaskości krzywej. Zostało sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George’a Greena.

Treść twierdzenia

Jeżeli funkcje ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q}$ są klasy ${\displaystyle C^{1}}$ wewnątrz obszaru regularnego ${\displaystyle D,}$ krzywa regularna ${\displaystyle K}$ jest brzegiem obszaru ${\displaystyle D}$ i jest zorientowana dodatnio, to^[1]:

${\displaystyle \int \limits _{K}{(Pdx+Qdy)}=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy.}$

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa ${\displaystyle K}$ jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

${\displaystyle \oint \limits _{K}{(Pdx+Qdy)}=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy.}$

Dowód

Niech ${\displaystyle D}$ będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc ${\displaystyle {\bar {D}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x\in [a,b]\wedge \,y\in [g_{1}(x),g_{2}(x)]\}.}$

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych ${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}{:}}$

${\displaystyle C_{1}=\{(t,g_{1}(t))\colon t\in [a,b]\},}$

${\displaystyle C_{2}=\{(b,t)\colon t\in [g_{1}(b),g_{2}(b)]\},}$

${\displaystyle C_{3}=\{(-t,g_{2}(-t))\colon t\in [-b,-a]\},}$

${\displaystyle C_{4}=\{(a,-t)\colon t\in [-g_{1}(a),-g_{2}(a)]\}.}$

Wówczas ${\displaystyle dx=dt}$ dla ${\displaystyle C_{1},}$ ${\displaystyle dx=-dt}$ dla ${\displaystyle C_{3}}$ oraz ${\displaystyle dx=0}$ dla ${\displaystyle C_{2},C_{4}.}$

Tak więc dla składowej ${\displaystyle P}$ pola wektorowego otrzymujemy:

${\displaystyle \oint \limits _{K}Pdx=\int \limits _{C_{1}}Pdx+\int \limits _{C_{3}}Pdx=\int \limits _{a}^{b}P(t,g_{1}(t))dt+\int \limits _{-b}^{-a}P(-t,g_{2}(-t))(-dt)=\int \limits _{a}^{b}(P(t,g_{1}(t))-P(t,g_{2}(t)))dt,}$

zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik ${\displaystyle -{\frac {\partial P}{\partial y}}{:}}$

${\displaystyle \iint \limits _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dy.}$

Stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

${\displaystyle \iint \limits _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}(P(t,g_{1}(t))-P(t,g_{2}(t)))dt.}$

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej ${\displaystyle Q.}$

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.

Przypisy