Twierdzenie Herona

Twierdzenie Herona, zagadnienie Herona – twierdzenie Herona z Aleksandrii dotyczące drogi promienia światła. Jedno z najstarszych zagadnień na ekstremum.

Treść twierdzenia

Niech ustalone punkty ${\displaystyle P,Q}$ leżą po tej samej stronie prostej ${\displaystyle l.}$ Weźmy dowolny punkt ${\displaystyle R\in l.}$

Oznaczmy przez ${\displaystyle \alpha }$ miarę kąta pomiędzy odcinkiem ${\displaystyle RP}$ i prostą ${\displaystyle l,}$ przez ${\displaystyle \beta }$ miarę kąta pomiędzy odcinkiem ${\displaystyle RQ}$ i ${\displaystyle l.}$

Wówczas zachodzi następująca równoważność:

Łamana ${\displaystyle PRQ}$ ma najmniejszą długość ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \alpha =\beta .}$

Obrazowo treść tego twierdzenie można tak wyrazić:

Łamana ${\displaystyle PRQ}$ jest najkrótsza wtedy i tylko wtedy, gdy kąt padania jest równy kątowi odbicia.

Dowód

Skonstruujmy punkt ${\displaystyle P'}$ symetryczny do ${\displaystyle P}$ względem prostej ${\displaystyle l}$ i oznaczmy przez ${\displaystyle \alpha '}$ miarę kąta pomiędzy odcinkiem ${\displaystyle RP'}$ i ${\displaystyle l.}$

Oczywiście zachodzi ${\displaystyle |RP|=|RP'|}$ oraz ${\displaystyle \alpha =\alpha '.}$

Dostajemy ciąg równoważnych zdań:

Łamana ${\displaystyle PRQ}$ ma najmniejszą długość ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Łamana ${\displaystyle P'RQ}$ ma najmniejszą długość ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ punkty ${\displaystyle P',R,Q}$ są współliniowe ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \beta =\alpha '}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \beta =\alpha .}$

Druga z powyższych równoważności opiera się na nierówności trójkąta, trzecia na własności kątów wierzchołkowych.

Przykłady zastosowania

W fizyce

Twierdzenie znalazło zastosowanie w optyce. Stosuje się je przy konstrukcji obrazu w zwierciadle płaskim.

W matematyce

W matematyce używane często przy rozwiązywaniu zadań o trójkątach oraz dotyczących drogi o najmniejszej długości (czyli minimum). Przykładowe zadania:

• Tomek chce dojść jak najkrótszą trasą z miejscowości P do Q, po drodze zaczerpując wody z rzeki l. Skonstruować tę trasę.

• Dany jest trójkąt o danym polu S i boku c = PQ. Spośród wszystkich takich trójkątów znaleźć ten, w którym suma pozostałych boków a + b jest najmniejsza.

Z warunku pierwszego (ustalone pole) wynika, że szukany trzeci wierzchołek znajduje się na prostej l równoległej do odcinka c, ponieważ odległość tego wierzchołka od prostej stanowiącej przedłużenie danego boku trójkąta musi być stała i wynosić h = 2S/c (wynika to ze wzoru na pole trójkąta S = 1/2 hc). Punkty P i Q są zatem jednakowo oddalone od prostej l. W tym szczególnym przypadku zgodnie z twierdzeniem Herona szukany trzeci wierzchołek trójkąta będzie równoodległy od punktów P i Q, a otrzymany trójkąt – równoramienny.

Zobacz też

• zwierciadło optyczne
• zwierciadło płaskie

Bibliografia

• R. Courant, H. Robbins: Co to jest matematyka. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.