Twierdzenie Jordana-Höldera

Twierdzenie Jordana-Höldera – twierdzenie teorii grup zapewniające jednoznaczność konstrukcji ciągu kompozycyjnego grupy (o ile można ją przeprowadzić^[a]), tzn. stwierdzające równoważność dowolnych dwóch ciągów kompozycyjnych danej grupy.

Pierwszą część twierdzenia, mianowicie niezmienniczość (co do porządku) rzędów grup ilorazowych „ciągu Jordana-Höldera” grupy skończonej, dowiódł Camille Jordan w Traité des substitutions et des équations algébriques („Traktakt o podstawieniach i równaniach algebraicznych”) z 1870 roku. Właściwe twierdzenie o jednoznaczności będące uzupełnieniem wyniku Jordana podał Otto Hölder, który pokazał w opublikowanej w Mathematische Annalen z 1889 roku pracy Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen („Przypisanie dowolnemu równaniu algebraicznemu ciągu równań”)^[b], że same ilorazy (co do porządku) są niezależne od rozważanego ciągu. Twierdzenie Jordana-Höldera jest również prawdziwie dla pozaskończonych rosnących ciągów kompozycyjnych, ale nie pozaskończonych malejących ciągów kompozycyjnych (uzupełnienie Garretta Birkhoffa z 1934 roku)^[c].

Podjęte próby uproszczenia dowodu zaowocowały nowymi wynikami – jest to dość niespotykane zjawisko w matematyce zważywszy blisko 40-letni okres od publikacji Höldera. Były to twierdzenie Schreiera z 1928 roku (dowolne dwa ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia) oraz lemat Zassenhausa z 1934 roku, który (co tym bardziej zaskakujące) powstał z kolei w celu uproszczenia dowodu twierdzenia Schreiera^[d]. W artykule przedstawiono dowód wykorzystujący oba narzędzia.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą z ciągiem kompozycyjnym^[a]. Wówczas zachodzą

Lemat

Każdy właściwy ciąg (podnormalny) można zagęścić do ciągu kompozycyjnego,

Twierdzenie Jordana-Höldera

Dowolne dwa ciągi kompozycyjne ${\displaystyle G}$ są równoważne (tzn. mają tę samą długość, a ich ilorazy są, w pewnym porządku, izomorficzne).

Dowód

Niech

${\displaystyle E=G_{0}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq G_{n}=G\qquad \;(g)}$

będzie (podnormalnym) ciągiem właściwym ${\displaystyle G,}$ zaś

${\displaystyle E=H_{0}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{m}=G\qquad (h)}$

będzie ciągiem kompozycyjnym ${\displaystyle G.}$ Z twierdzenia Schreiera istnieją równoważne ciągi ${\displaystyle (g')}$ oraz ${\displaystyle (h')}$ grupy ${\displaystyle G,}$ dla których ${\displaystyle (g')}$ jest zagęszczeniem ${\displaystyle (g),}$ a ${\displaystyle (h')}$ jest zagęszczeniem ${\displaystyle (h).}$ Usuwając w ${\displaystyle (g')}$ i ${\displaystyle (h')}$ powtarzające się ilorazy otrzymuje się dwa równoważne ciągi właściwe, oznaczane dalej ${\displaystyle (g'')}$ oraz ${\displaystyle (h'');}$ uzyskane ciągi są zagęszczeniami ${\displaystyle (g)}$ oraz ${\displaystyle (h),}$ ponieważ tak ${\displaystyle (g),}$ jak i ${\displaystyle (h)}$ są ciągami właściwymi.

Lemat

Ciąg ${\displaystyle (h'')}$ jest właściwy i jest zagęszczeniem ${\displaystyle (h).}$ Jednakże ${\displaystyle (h)}$ nie ma zagęszczenia właściwego, ponieważ ${\displaystyle (h)}$ jest ciągiem kompozycyjnym. Dlatego ${\displaystyle (h'')}$ jest identyczny z ${\displaystyle (h).}$ Zatem ${\displaystyle (g)}$ ma zagęszczenie ${\displaystyle (g''),}$ które jest równoważne z ciągiem kompozycyjnym ${\displaystyle (h'')=(h).}$ Wówczas ilorazy ${\displaystyle (g''),}$ izomorficzne z ilorazami kompozycyjnymi w ${\displaystyle (h),}$ są bez wyjątku grupami prostymi, a ${\displaystyle (g'')}$ sam jest ciągiem kompozycyjnym (zgodnie z charakteryzacją ciągu kompozycyjnego). W ten sposób dowolny ciąg właściwy ${\displaystyle (g)}$ grupy ${\displaystyle G}$ ma zagęszczenie ${\displaystyle (g'')}$ będące ciągiem kompozycyjnym.

Twierdzenie Jordana-Höldera

Niech ${\displaystyle (g)}$ również będzie ciągiem kompozycyjnym ${\displaystyle G.}$ Naśladując powyższe rozumowanie ${\displaystyle (g'')}$ musi być identyczne z ${\displaystyle (g).}$ Wówczas ${\displaystyle (g)=(g'')}$ oraz ${\displaystyle (h'')=(h)}$ są równoważne. Zatem dowolne dwa ciągi kompozycyjne ${\displaystyle G}$ są równoważne.

Uwagi

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 115–117.