Twierdzenie Katětova-Tonga

Twierdzenie Katětova-Tonga – twierdzenie dotyczące funkcji półciągłych, udowodnione w latach 50. XX wieku niezależnie przez Miroslava Katětova^[1] i Hinga Tonga^[2].

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią normalną oraz ${\displaystyle g,h\colon X\to \mathbb {R} }$ będą takimi funkcjami, że ${\displaystyle g}$ jest półciągła z góry, ${\displaystyle h}$ jest półciągła z dołu oraz ${\displaystyle g(x)\leqslant h(x)}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X.}$ Istnieje wówczas taka funkcja ciągła

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}$

że dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x).}$

Przy pomocy twierdzenia Katětova-Tonga można udowodnić twierdzenie Tietzego-Urysohna i lemat Urysohna.

Przypisy