Twierdzenie Krejna-Szmuljana

Twierdzenie Krejna-Szmuljana – twierdzenie udowonione w 1940 przez Krejna i Szmuljana[1], które charakteryzuje wypukłe podzbiory przestrzeni sprzężonych przestrzeni Banacha w topologii *-słabej. Twierdzenie uogólnia się na przypadek przestrzeni Frécheta.

Twierdzenie

Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz niech BX* oznacza domkniętą kulę jednostkową w przestrzeni sprzężonej X. Jeśli C jest wypukłym podzbiorem X*, to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby t > 0 zbiór

jest *-słabo domknięty.[2]

Bezpośrednim wnioskiem z powyższego twierdzenia jest następujące kryterium na *-słabą domkniętość w X*: podprzestrzeń liniowa Y przestrzeni X* jest domknięta w *-słabej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula jednostkowa jest *-słabo domknięta.[3] Założenia zupełności przestrzeni X w twierdzeniu Krejna-Šmuliana nie można pominąć[4].

Wersja twierdzenia dla przestrzeni Frécheta

Powyższe twierdzenie można wypowiedzieć nieco ogólniej, w języku półnorm w przestrzeniach Frécheta.

Nich X będzie jest przestrzenią Frécheta. Jeśli C jest wypukłym podzbiorem X*, to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej ciągłej półnormy

zbiór

jest *-słabo domknięty.

Przypisy

  1. ↑ M. Krein, V. Smulian, On regulary convex sets in the space conjugate to a Banach space, Ann. of Math. (2) 41 (1940), 556–583.
  2. ↑ Conway 1990 ↓, s. 159-162.
  3. ↑ Megginson 1998 ↓, s. 242.
  4. ↑ Megginson 1998 ↓, s. 243.

Bibliografia

  • John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-97245-5.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • B. Rodrigues, S. Simons: A minimax proof of the Krein-Smulian Theorem, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 51, Number 6, 1988.