Twierdzenie Krulla

Twierdzenie Krulla – twierdzenie teorii pierścieni mówiące o istnieniu ideałów maksymalnych w dowolnym nietrywialnym pierścieniu z jedynką lub równoważnie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym danego nietrywialnego pierścienia z jedynką^[a]. Twierdzenie to zostało sformułowane w 1929 roku przez Wolfganga Krulla i jest równoważne z aksjomatem wyboru (gdyż wykorzystuje równoważny z nim lemat Kuratowskiego-Zorna).

Poniższy dowód obowiązuje dla ideałów lewostronnych bądź w pierścieniach przemiennych dla ideałów obustronnych; obowiązuje on mutatis mutandis dla ideałów prawostronnych.

Dowód

Niech ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ oznacza rodzinę wszystkich ideałów właściwych pierścienia ${\displaystyle R}$ zawierających ustalony ideał ${\displaystyle I,}$ częściowo uporządkowaną relacją zawierania. Należy wykazać, że w niepustej rodzinie ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ (należy do niej ${\displaystyle I}$) istnieje element maksymalny – jest to szukany ideał maksymalny pierścienia ${\displaystyle R.}$ Niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ będzie łańcuchem w ${\displaystyle {\mathcal {I}},}$ wówczas jeśli ${\displaystyle I_{1},I_{2}\in {\mathcal {L}},}$ to ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}}$ lub ${\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}.}$

Wystarczy więc dowieść, że ${\displaystyle J=\bigcup {\mathcal {J}}}$ należy do ${\displaystyle {\mathcal {I}},}$ a ponieważ ${\displaystyle I\subseteq J,}$ to pozostaje sprawdzić, że ${\displaystyle J}$ jest ideałem właściwym:

• Otóż jeśli ${\displaystyle a,b\in J,}$ to istnieją ideały ${\displaystyle I_{1},I_{2}\in {\mathcal {L}},}$ dla których ${\displaystyle a\in I_{1}}$ i ${\displaystyle b\in I_{2}.}$ Przyjmując dla ustalenia uwagi ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}}$ otrzymuje się, iż ${\displaystyle a,b\in I_{2},}$ skąd ${\displaystyle a+b\in I_{2},}$ czyli ${\displaystyle a+b\in J}$ (podobnie dla ${\displaystyle I_{2}\subseteq I_{1}}$); ponadto jeśli ${\displaystyle r\in R}$ oraz ${\displaystyle a\in J,}$ to istnieje wtedy taki ideał ${\displaystyle I_{1}\in {\mathcal {J}},}$ że ${\displaystyle a\in I_{1},}$ wtedy ${\displaystyle ra\in I_{1},}$ skąd ${\displaystyle ra\in J.}$ Wynika stąd, że ${\displaystyle J}$ jest ideałem.
• Ideał ${\displaystyle I}$ jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle 1\notin I}$ (jeśli ${\displaystyle 1\in I,}$ to ${\displaystyle r1\in I}$ dla dowolnego ${\displaystyle r\in R}$ oznacza, że ${\displaystyle I=R;}$ z drugiej strony jeżeli ${\displaystyle I=R,}$ to ${\displaystyle 1\in I}$). Skoro wszystkie ideały należące do ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ są właściwe, to żaden z nich nie zawiera jedynki, czyli również ${\displaystyle 1\notin J,}$ co oznacza, że ${\displaystyle J}$ także jest właściwy.

W ten sposób ${\displaystyle J\in {\mathcal {I}},}$ a ponieważ suma każdego łańcucha w ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ należy do ${\displaystyle {\mathcal {I}},}$ to z wniosku do lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w rodzinie ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ istnieje element (ideał) maksymalny.

Uwagi

Bibliografia

• Wolfgang Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, „Mathematische Annalen” 10 (1929), s. 729–744.