Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)
Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora[1].
Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku[1].
Twierdzenie Lagrange’a
Jeśli dana funkcja jest
- ciągła w przedziale
- różniczkowalna w przedziale
to istnieje taki punkt że:
Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.
Interpretacja geometryczna
Geometrycznie twierdzenie Lagrange’a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami i
Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie wynosi Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy:
Wartość średnia
Twierdzenie Lagrange’a zapisane w postaci
mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów i wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między i – stąd właśnie nazwa twierdzenia.
Dowód
Załóżmy, że:
Mamy wtedy:
oraz
A więc:
- czyli funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, a zatem istnieje punkt taki, że z drugiej strony mamy i stąd otrzymujemy Dlatego też
Historia
Specjalny przykład tego twierdzenia został po raz pierwszy opisany przez Parameshvara (1380–1460), z szkoły Kerala Astronomii i Matematyki w Indiach, w swoich komentarzach do Govindasvāminiego i Bhaskaraćarja. Ograniczona forma tego twierdzenia została udowodniona przez Michela Rolle'a w 1691; wynikiem tego było twierdzenie Rolle'a, które zostało udowodnione tylko dla wielomianów, bez użycia rachunku różniczkowego. Twierdzenie Lagrange’a w dzisiejszej formie zostało stwierdzone i udowodnione przez Augustina Louisa Cauchego w 1823. Wiele wariacji tego twierdzenia zostało udowodnione od tamtego czasu.
Uogólnienie
Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w dla ) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji ) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).
Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:
Dowód polega na stwierdzeniu, że dla każdego i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale kresem górnym zbioru końców przedziału dla których teza przy w miejscu i ograniczeniu górnym zamiast supremum jest spełniona, jest Po zastąpieniu ograniczenia kresem, nierówność pozostanie spełniona. Przejście graniczne z do zera daje, dzięki ciągłości funkcji tezę.
Zobacz też
- twierdzenie Darboux
Przypisy
- ↑ a b Lagrange’a twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-06-20] .
Bibliografia
- G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 196. ISBN 83-01-02175-6.
Linki zewnętrzne
- Eric W. Weisstein , Mean-Value Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2015-02-20] (ang.).
- Finite-increments formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-06-20].
Media użyte na tej stronie
Autor: Wersję rastrową wykonał użytkownik polskiego projektu wikipedii: C4, Zwektoryzował: Krzysztof Zajączkowski, Licencja: GFDL
ilustracja tw. Lagrange'a