Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)

Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora^[1].

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku^[1].

Twierdzenie Lagrange’a

Jeśli dana funkcja ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ jest

• ciągła w przedziale ${\displaystyle [a,b],}$
• różniczkowalna w przedziale ${\displaystyle (a,b),}$

to istnieje taki punkt ${\displaystyle c\in (a,b),}$ że:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c).}$

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

Interpretacja geometryczna

Geometrycznie twierdzenie Lagrange’a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu ${\displaystyle \left(a,f(a)\right)}$ do punktu ${\displaystyle \left(b,f(b)\right),}$ istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami ${\displaystyle \left(a,f(a)\right)}$ i ${\displaystyle \left(b,f(b)\right).}$

Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie ${\displaystyle \left(c,f(c)\right)}$ wynosi ${\displaystyle f'(c).}$ Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Wartość średnia

Twierdzenie Lagrange’a zapisane w postaci

${\displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)}$

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle a}$ wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

Dowód

Załóżmy, że:

${\displaystyle K={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}},}$

${\displaystyle g(x)=f(x)-K(x-a).}$

Mamy wtedy:

${\displaystyle g(a)=f(a)-K(a-a)=f(a)}$

oraz

${\displaystyle g(b)=f(b)-K(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a).}$

A więc:

${\displaystyle g(a)=g(b),}$ czyli funkcja ${\displaystyle g(x)}$ spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, a zatem istnieje punkt ${\displaystyle c\in (a,b)}$ taki, że ${\displaystyle g'(c)=0,}$ z drugiej strony mamy ${\displaystyle g'(x)=f'(x)-K}$ i stąd otrzymujemy ${\displaystyle 0=g'(c)=f'(c)-K.}$ Dlatego też ${\displaystyle f'(c)=K={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Historia

Specjalny przykład tego twierdzenia został po raz pierwszy opisany przez Parameshvara (1380–1460), z szkoły Kerala Astronomii i Matematyki w Indiach, w swoich komentarzach do Govindasvāminiego i Bhaskaraćarja. Ograniczona forma tego twierdzenia została udowodniona przez Michela Rolle'a w 1691; wynikiem tego było twierdzenie Rolle'a, które zostało udowodnione tylko dla wielomianów, bez użycia rachunku różniczkowego. Twierdzenie Lagrange’a w dzisiejszej formie zostało stwierdzone i udowodnione przez Augustina Louisa Cauchego w 1823. Wiele wariacji tego twierdzenia zostało udowodnione od tamtego czasu.

Uogólnienie

Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dla ${\displaystyle n>1}$) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq |b-a|\cdot \sup \limits _{t\in (a,b)}\|f'(t)\|.}$

Dowód polega na stwierdzeniu, że dla każdego ${\displaystyle \epsilon >0}$ i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ kresem górnym zbioru końców przedziału dla których teza przy ${\displaystyle a+\epsilon }$ w miejscu ${\displaystyle a}$ i ograniczeniu górnym zamiast supremum jest spełniona, jest ${\displaystyle b.}$ Po zastąpieniu ograniczenia kresem, nierówność pozostanie spełniona. Przejście graniczne z ${\displaystyle \epsilon }$ do zera daje, dzięki ciągłości funkcji ${\displaystyle f}$ tezę.

Zobacz też

• twierdzenie Darboux

Przypisy

Bibliografia

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 196. ISBN 83-01-02175-6.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mean-Value Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2015-02-20]  (ang.).
• Finite-increments formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-06-20].