Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)

Twierdzenie Lagrange’a – twierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, tzn. zachodzi równość

${\displaystyle |G|=|G:H|\cdot |H|,}$

gdzie ${\displaystyle |G:H|}$ oznacza indeks podgrupy ${\displaystyle H}$ w ${\displaystyle G,}$ zaś ${\displaystyle |G|,|H|}$ odpowiednio rząd grupy i podgrupy^[1][2].

Wynik nosi nazwisko Josepha Louisa Lagrange’a.

Dowód

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą skończoną. Zbiór warstw lewostronnych ${\displaystyle \{gH:g\in G\}}$ grupy ${\displaystyle G}$ względem podgrupy ${\displaystyle H}$ stanowi rozbicie zbioru ${\displaystyle G}$ na ${\displaystyle n=|G:H|}$ równolicznych ze zbiorem ${\displaystyle H}$ zbiorów: ${\displaystyle g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{n}H.}$

W ten sposób

${\displaystyle G=g_{1}H\cup g_{2}H\cup \dots \cup g_{n}H,}$

a skoro poszczególne warstwy są rozłączne, to

${\displaystyle |G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\dots +|g_{n}H|,}$

przy czym wszystkie warstwy są równoliczne z ${\displaystyle H,}$ co oznacza, że

${\displaystyle |G|=|H|+|H|+\dots +|H|=n|H|,}$

zatem

${\displaystyle |G|=|G:H|\cdot |H|.}$

Wnioski i uwagi

• Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy (wynika to wprost z definicji rzędu). W szczególności, dla dowolnego elementu ${\displaystyle g}$ danej grupy ${\displaystyle G}$ prawdziwa jest równość ${\displaystyle g^{n}=e,}$ gdzie ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym grupy, a ${\displaystyle n}$ oznacza jej rząd.
• Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną.
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a nie jest prawdziwe, tzn. nie gwarantuje, że dla każdego dzielnika rzędu grupy istnieje podgrupa, której rząd jest równy danemu dzielnikowi.

Przykładowo grupa alternująca ${\displaystyle A_{4}}$ jest podgrupą grupy symetrycznej ${\displaystyle S_{4},}$ przy czym rząd pierwszej jest dzielnikiem rzędu drugiej, ${\displaystyle 4|A_{4}|=|S_{4}|,}$ jednakże grupa ${\displaystyle A_{4}}$ nie zawiera żadnej podgrupy rzędu ${\displaystyle 4.}$

Częściowym rozwiązaniem problemu istnienia podgrup danego rzędu są twierdzenie Cauchy’ego oraz twierdzenia Sylowa.

• Twierdzenie to rozumiane jako stwierdzenie o liczbach kardynalnych jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Uogólnienia

Twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle G}$ jest skończona oraz ${\displaystyle K\leqslant H\leqslant G,}$ to zachodzi

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\cdot |H:K|.}$

Dowód

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że

${\displaystyle |G|=|G:K|\cdot |K|=|G:H|\cdot |H|}$

oraz

${\displaystyle |H|=|H:K|\cdot |K|,}$

skąd

${\displaystyle |G:K|\cdot |K|=|G:H|\cdot |H:K|\cdot |K|.}$

Zobacz też

• twierdzenie Cauchy’ego
• twierdzenia Sylowa

Przypisy