Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty niebędące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero.

W klasycznym przypadku miary Lebesgue’a dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitalego o pokryciu, w przypadku ogólniejszych miar Radona wykorzystuje się stosowne dla nich uogólnienie wspomnianego twierdzenia: twierdzenie Bezikowicza o pokryciu.

Oznaczenia i pojęcia wstępne

Niech ${\displaystyle Z}$ będzie sumą niepustej rodziny przedziałów N-wymiarowych (z twierdzenia Vitalego wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech ${\displaystyle F}$ będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich kostek N-wymiarowych zawartych w zbiorze ${\displaystyle Z}$ i przyjmującą wartości w zbiorze ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ oraz punkt ${\displaystyle x_{0}\in Z.}$ Niech dany będzie również zbiór

${\displaystyle W=\{y\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \,y=\lim _{n\to \infty }F(Q_{n}),\,(Q_{n})_{n\in \mathbb {N} }\},}$

gdzie ${\displaystyle (Q_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze ${\displaystyle Z}$ takich, że ${\displaystyle x\in Q_{n}\,n\in \mathbb {N} }$ oraz

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(Q_{n})=0.}$

Zbiór ten jest niepustym i domkniętym podzbiorem przestrzeni ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}$

Kres dolny i górny zbioru ${\displaystyle W}$ oznaczamy odpowiednio

${\displaystyle \liminf _{Q\to x_{0}}F(Q)}$ oraz ${\displaystyle \limsup _{Q\to x_{0}}F(Q).}$

Ponadto gdy są one równe (co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ${\displaystyle W}$ jest jednoelementowy), to piszemy wówczas

${\displaystyle \lim _{Q\to x_{0}}F(Q).}$

Punkty gęstości

Punkt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$ nazywamy punktem gęstości (mierzalnego) podzbioru ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{N}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \lim _{Q\to x}{\frac {l_{N}(E\cap Q)}{l_{N}(Q)}}=1,}$

gdzie ${\displaystyle l_{N}}$ oznacza N-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Twierdzenie Lebesgue’a

Jeśli ${\displaystyle E}$ jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to prawie każdy punkt tego zbioru jest jego punktem gęstości.

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1975, s. 155.