Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty niebędące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero.

W klasycznym przypadku miary Lebesgue’a dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitalego o pokryciu, w przypadku ogólniejszych miar Radona wykorzystuje się stosowne dla nich uogólnienie wspomnianego twierdzenia: twierdzenie Bezikowicza o pokryciu.

Oznaczenia i pojęcia wstępne

Niech będzie sumą niepustej rodziny przedziałów N-wymiarowych (z twierdzenia Vitalego wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich kostek N-wymiarowych zawartych w zbiorze i przyjmującą wartości w zbiorze oraz punkt Niech dany będzie również zbiór

gdzie jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze takich, że oraz

Zbiór ten jest niepustym i domkniętym podzbiorem przestrzeni

Kres dolny i górny zbioru oznaczamy odpowiednio

oraz

Ponadto gdy są one równe (co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednoelementowy), to piszemy wówczas

Punkty gęstości

Punkt nazywamy punktem gęstości (mierzalnego) podzbioru wtedy i tylko wtedy, gdy

gdzie oznacza N-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Twierdzenie Lebesgue’a

Jeśli jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to prawie każdy punkt tego zbioru jest jego punktem gęstości.

Bibliografia