Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Henri Lebesgue

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica monotonicznie zbieżnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są całkowalne i zbiór wartości całek jest ograniczony, to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) ${\displaystyle f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R} }$ (dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) jest funkcją mierzalną,

(c) ${\displaystyle 0\leqslant f_{1}(x)\leqslant f_{2}(x)\leqslant f_{3}(x)\leqslant \ldots }$ dla każdego ${\displaystyle x\in X,}$

(d) dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ istnieje granica ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x);}$ niech funkcja ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow \mathbb {R} }$ będzie zdefiniowana przez

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ dla ${\displaystyle x\in X.}$

Wówczas funkcja ${\displaystyle f}$ jest mierzalna. Jeśli dodatkowo

(e) każda z funkcji ${\displaystyle f_{n}}$ jest całkowalna i zbiór ${\displaystyle \left\{\int f_{n}\ d\mu :n\in \mathbb {N} \right\}}$ jest ograniczony z góry,

to funkcja ${\displaystyle f}$ jest całkowalna oraz ${\displaystyle \int f\ d\mu =\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .}$

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego ${\displaystyle x.}$

Szkic dowodu

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna^[1]. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, ${\displaystyle f}$ jest mierzalna. Ponieważ ciąg ${\displaystyle \left(\int f_{n}d\mu \right)_{n\in \mathbb {N} }}$ jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech ${\displaystyle C=\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .}$

Przypuśćmy, że ${\displaystyle h\colon X\longrightarrow \mathbb {R} }$ jest całkowalną funkcją prostą taką, że ${\displaystyle 0\leqslant h\leqslant f.}$ Ustalmy na jakiś czas liczbę ${\displaystyle \alpha \in (0,1).}$ Dla liczby naturalnej ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ połóżmy

${\displaystyle A_{n}=\{x\in X:\alpha \cdot h(x)\leqslant f_{n}(x)\}.}$

Oczywiście, ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {F}}}$ (jako że zarówno ${\displaystyle f_{n},}$ jak i ${\displaystyle h}$ są mierzalne) oraz ${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$ (używamy tu założenia (c)). Ponieważ ${\displaystyle \alpha \cdot h(x)<f(x)}$ ilekroć ${\displaystyle f(x)>0,}$ to używając założenia (d) widzimy, że ${\displaystyle X=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}.}$ Zauważmy, że

(i) ${\displaystyle {}\quad \alpha \cdot \int \limits _{A_{n}}h\ d\mu \leqslant \int \limits _{A_{n}}f_{n}\ d\mu \leqslant \int f_{n}\ d\mu .}$

Następnie, pamiętając że ${\displaystyle h}$ jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii) ${\displaystyle {}\quad \lim _{n\to \infty }\int \limits _{A_{n}}h\ d\mu =\int \limits _{\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}h\ d\mu =\int h\ d\mu .}$

Przechodząc z ${\displaystyle n}$ do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy

${\displaystyle \alpha \cdot \int h\ d\mu \leqslant C.}$

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby ${\displaystyle \alpha \in (0,1),}$ to otrzymujemy iż ${\displaystyle \int h\ d\mu \leqslant C=\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .}$

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej ${\displaystyle h}$ spełniającej nierówności ${\displaystyle 0\leqslant h\leqslant f,}$ mamy że ${\displaystyle \int h\ d\mu \leqslant C,}$ a więc funkcja ${\displaystyle f}$ jest całkowalna oraz ${\displaystyle \int f\ d\mu \leqslant C.}$ (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.) Ponieważ jednocześnie ${\displaystyle \int f_{n}\ d\mu \leqslant \int f\ d\mu }$ (jako że ${\displaystyle f_{n}\leqslant f}$), to mamy też

${\displaystyle \int f\ d\mu =C=\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .}$

Zastosowania

• Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
• Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:

${\displaystyle \sum _{n}\int f_{n}\;d\mu =\int \;\sum _{n}f_{n}\;d\mu .}$

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• funkcja całkowalna
• lemat Fatou
• twierdzenie Fubiniego
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• twierdzenie Vitalego o zbieżności

Przypisy

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998. ISBN 978-83-01-15801-9.
• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.