Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b) (dla ) jest funkcją mierzalną,
(c) dla pewnej funkcji całkowalnej mamy, że dla wszystkich i
(d) dla wszystkich istnieje granica niech funkcja będzie zdefiniowana przez
dla

Wówczas funkcja jest całkowalna oraz

  i  

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego

Szkic dowodu

Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna[1]. oraz (dla wszystkich ), a stąd jest całkowalna. Zauważmy, że (dla każdego ), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji

Ponieważ to otrzymujemy wówczas, że

Stąd już wnioskujemy że a zatem Ponieważ to możemy też wywnioskować, że

Przykład

Istotność założenia (c)

Rozważmy odcinek wyposażony w miarą Lebesgue’a Dla liczby naturalnej zdefiniujemy funkcję przez

Wtedy dla natomiast

A więc nie można pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.

Zobacz też

Przypisy

  1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23, 35.

Bibliografia

Media użyte na tej stronie