Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Henri Lebesgue

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) ${\displaystyle f_{n}\colon X\longrightarrow {\mathbb {R} }}$ (dla ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$) jest funkcją mierzalną,

(c) dla pewnej funkcji całkowalnej ${\displaystyle g\colon X\longrightarrow {\mathbb {R} }}$ mamy, że ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant g(x)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ i ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} },}$

(d) dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ istnieje granica ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x);}$ niech funkcja ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow {\mathbb {R} }}$ będzie zdefiniowana przez

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ dla ${\displaystyle x\in X.}$

Wówczas funkcja ${\displaystyle f}$ jest całkowalna oraz

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|\ d\mu =0}$   i   ${\displaystyle \int f\ d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .}$

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego ${\displaystyle x.}$

Szkic dowodu

Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że ${\displaystyle f}$ jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna^[1]. oraz ${\displaystyle |f(x)|\leqslant g(x)}$ (dla wszystkich ${\displaystyle x\in X}$), a stąd ${\displaystyle f}$ jest całkowalna. Zauważmy, że ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leqslant 2g(x)}$ (dla każdego ${\displaystyle x}$), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji ${\displaystyle h_{n}=2g-|f_{n}-f|.}$

Ponieważ ${\displaystyle 2g(x)=\lim \limits _{n\to \infty }h_{n}(x)=\liminf \limits _{n\to \infty }h_{n}(x),}$ to otrzymujemy wówczas, że

${\displaystyle {\begin{aligned}\int 2g\ d\mu &\leqslant \liminf \limits _{n\to \infty }\int h_{n}\ d\mu \\&=\liminf \limits _{n\to \infty }\int 2g-|f_{n}-f|\ d\mu \\&=\int 2g\ d\mu +\liminf \limits _{n\to \infty }\left(-\int |f_{n}-f|\ d\mu \right)\\&=\int 2g\ d\mu -\limsup \limits _{n\to \infty }\left(\int |f_{n}-f|\ d\mu \right).\end{aligned}}}$

Stąd już wnioskujemy że ${\displaystyle \limsup \limits _{n\to \infty }\left(\int |f_{n}-f|\ d\mu \right)=0,}$ a zatem ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|\ d\mu =0.}$ Ponieważ ${\displaystyle \left|\int f_{n}-f\ d\mu \right|\leqslant \int |f_{n}-f|\ d\mu ,}$ to możemy też wywnioskować, że ${\displaystyle \int f\ d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}\ d\mu .}$

Przykład

Istotność założenia (c)

Rozważmy odcinek ${\displaystyle (0,1)}$ wyposażony w miarą Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda .}$ Dla liczby naturalnej ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ zdefiniujemy funkcję ${\displaystyle f_{n}\colon (0,1)\longrightarrow {\mathbb {R} }}$ przez

${\displaystyle f_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}n&{\mbox{gdy}}\quad x\in \left(0,{\frac {1}{n}}\right]\\0&{\mbox{gdy}}\quad x\in \left({\frac {1}{n}},1\right)\end{matrix}}\right.}$

Wtedy ${\displaystyle f_{n}(x)\to 0}$ dla ${\displaystyle x\in (0,1),}$ natomiast ${\displaystyle \int f_{n}\;d\lambda =n\lambda \left(\left(0,{\frac {1}{n}}\right)\right)=n{\frac {1}{n}}=1\not \to 0=\int 0\;d\lambda .}$

A więc nie można pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• lemat Fatou
• twierdzenie Fubiniego
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Vitalego o zbieżności

Przypisy

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998. ISBN 978-83-01-15801-9.
• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.