Twierdzenie Liouville’a (analiza zespolona)

Twierdzenie Liouville’a głosi, że funkcja całkowita, która jest ograniczona, jest stała.

Dowód

Niech ${\displaystyle |f(z)|\leqslant M}$ i ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$ to ze wzoru całkowego Cauchy’ego wynika, że ${\displaystyle |a_{n}|<M\cdot R^{-n}}$ dla każdego ${\displaystyle R>0,}$ stąd ${\displaystyle a_{n}=0}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$ i funkcja ${\displaystyle f}$ jest stale równa ${\displaystyle a_{0}.}$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Liouville’s Boundedness Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.).