Twierdzenie Mihăilescu

Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) – twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu^[1] w 2002, będące wcześniej hipotezą postawioną w 1844 przez Eugène’a Charles’a Catalana.

Twierdzenie

Równanie

${\displaystyle a^{x}-b^{y}=1,}$

gdzie ${\displaystyle a,x,b,y}$ są liczbami naturalnymi większymi od 1, ma tylko jedno rozwiązanie: ${\displaystyle a=3,}$ ${\displaystyle x=2,}$ ${\displaystyle b=2,}$ ${\displaystyle y=3.}$

Innymi słowy, jedyną parą następujących po sobie potęg liczb naturalnych (o wykładnikach naturalnych większych od 1) jest ${\displaystyle 8=2^{3}}$ i ${\displaystyle 9=3^{2}.}$

Przypadek szczególny

Jedynym rozwiązaniem równania postaci ${\displaystyle 2^{a}=(2k+1)^{b}\pm 1,}$ gdzie ${\displaystyle a>1,\ b>1,\ k>0}$ jest ${\displaystyle k=1,\ a=3,\ b=2}$ (np. ${\displaystyle 2^{3}=3^{2}-1}$)^[2].

Przypisy