Twierdzenie Morery

Twierdzenie Morery – twierdzenie analizy zespolonej mówiące, że jeśli funkcja ${\displaystyle f,}$ określona na pewnym obszarze ${\displaystyle D}$ płaszczyzny zespolonej o wartościach zespolonych jest ciągła oraz jeżeli dla dowolnego trójkąta ${\displaystyle \Delta \subseteq D}$ całka krzywoliniowa po ${\displaystyle \Delta }$ z tej funkcji jest równa zeru, tj.

${\displaystyle \oint \limits _{\Delta }f(z)\ \mathrm {d} z=0,}$

to funkcja ta jest holomorficzna w ${\displaystyle D}$^[1].

Twierdzenie Morery jest w pewnym sensie odwróceniem lematu Goursata (twierdzenia całkowego Cauchy’ego).

Przykłady zastosowań

Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji holomorficznych ${\displaystyle (f_{n})}$ określonych na pewnym obszarze ${\displaystyle D}$ płaszczyzny zespolonej jest holomorficzna.

Dowód. Niech ${\displaystyle f}$ będzie granicą jednostajnie zbieżnego ciągu ${\displaystyle (f_{n}).}$ Wówczas z twierdzenie Weierstrassa, ${\displaystyle f}$ jest funkcją ciągłą. Niech ${\displaystyle \Delta \subseteq D}$ będzie trójkątem oraz niech ${\displaystyle o(\Delta )}$ oznacza obwód ${\displaystyle \Delta .}$ Z twierdzenia całkowego Cauchy’ego wynika, że

${\displaystyle \oint \limits _{\Delta }f_{n}(z)\ \mathrm {d} z=0}$

dla każdego ${\displaystyle n.}$ Wówczas

${\displaystyle \left|\oint \limits _{\Delta }f(z)\ \mathrm {d} z\right|=\left|\oint \limits _{\Delta }(f(z)-f_{n}(z))\ \mathrm {d} z\right|\leqslant o(\Delta )\cdot \sup _{z\in \Delta }|f(z)-f_{n}(z)|\;{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;0,}$

a więc

${\displaystyle \oint \limits _{\Delta }f(z)\ \mathrm {d} z=0}$^[2].

Przypisy

Bibliografia

• Mats Andersson: Topics in Complex Analysis. New York: Springer-Verlag, 1997, seria: Universitext: Tracts in Mathematics. ISBN 978-0-387-94754-9.
• David C. Ullrich: Complex Made Simple. American Mathematical Society, 2008, seria: Graduate Studies in Mathematics 97. ISBN 978-0-8218-4479-3.