Twierdzenie Napoleona

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta ${\displaystyle \triangle ABC}$ są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

${\displaystyle {\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}={\frac {|CL|}{|BC|}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}.}$

Stąd

${\displaystyle \sphericalangle MAN=\sphericalangle CAZ.}$

Ponieważ

${\displaystyle {\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}},}$

więc ${\displaystyle \triangle AMN}$ i ${\displaystyle \triangle ACZ}$ są podobne. Zatem

${\displaystyle |MN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.}$

Analogicznie pokazujemy, że ${\displaystyle \triangle BLN}$ i ${\displaystyle \triangle BCZ}$ są podobne, więc

${\displaystyle |LN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.}$

Stąd ${\displaystyle |LN|=|MN|.}$ Analogicznie pokazujemy, że ${\displaystyle |LN|=|LM|,}$ więc ${\displaystyle \triangle LMN}$ jest równoboczny.

Zobacz też

• punkt Fermata
• problem Napoleona
• twierdzenie van Aubela