Twierdzenie Orlicza-Pettisa

Twierdzenie Orlicza-Pettisa – twierdzenie w analizie funkcjonalnej dotyczące zbieżności szeregów (Orlicz) lub, równoważnie, przeliczalnej addytywności miar wektorowych (Pettis) o wartościach w lokalnie wypukłych przestrzeniach liniowo-topologicznych.

Niech będzie lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną Hausdorffa. Szereg jest podszeregowo zbieżny, jeżeli każdy jego podszereg jest zbieżny.

  • (i) Jeżeli szereg jest słabo podszeregowo zbieżny w (tzn. podszeregowo zbieżny w słabej topologii przestrzeni ), to jest (podszeregowo) zbieżny; albo równoważnie
  • (ii) Niech będzie σ-algebrą zbiorów i niech będzie addytywną funkcją zbioru. Jeżeli jest słabo przeliczalnie addytywna, to jest przeliczalnie addytywna (w oryginalnej topologii przestrzeni ).

W. Orlicz udowodnił[1] przy założeniu, że X jest słabo ciągowo zupełną przestrzenią Banacha następujące Twierdzenie:

Jeżeli szereg w przestrzeni jest słabo bezwarunkowo Cauchy’ego, tzn. dla każdego funkcjonału liniowego to szereg ten jest (normowo) zbieżny w

Po opublikowaniu pracy zauważył, że założenie słabej ciągowej zupełności przestrzeni potrzebne jest w dowodzie tylko po to, by umiejscowić granice szeregów, o których zakładał, iż są słabo bezwarunkowo Cauchy’ego. Wobec tego, zakładając istnienie tych granic, co oznacza założenie słabej podszeregowej zbieżności, ten sam dowód pokazuje (normową) zbieżność szeregu. Czyli pokazuje, że w dowolnej przestrzeni Banacha zachodzi wersja (i) twierdzenia Orlicza-Pettisa. W tej postaci twierdzenie, jako wynik Orlicza, przytoczone jest w monografii Banacha[2] w jej ostatnim rozdziale Remarques (gdzie dowody nie są podawane). Pettis[3] znał twierdzenie Orlicza z książki Banacha. Ponieważ wynik ten był mu potrzebny dla uzyskania identyczności miar mocno i słabo przeliczalnie addytywnych, podał jego dowód. Także Dunford[4] podał swój dowód (zauważając jego podobieństwo do oryginalnego dowodu Orlicza).

Bardziej szczegółową analizę historyczną dotyczącą początków tw. Orlicza-Pettisa znaleźć można w[5]. Zobacz także przypis dolny (nr 5) samego Orlicza w[6], komentarz na str. 284 w uwagach historycznych monografii Alexiewicza oraz uwagę na końcu Section 2.4 w 2. wydaniu książki Albiaca i Kaltona (obie książki w bibliografii poniżej).

Grothendieck w[7] otrzymał twierdzenie, którego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Orlicza-Pettisa dla przestrzeni lokalnie wypukłej. Później bezpośrednie dowody wersji (i) twierdzenia w przypadku lokalnie wypukłym podali McArthur[8] oraz Robertson[9]. Nazwa twierdzenia jako ‘Orlicz-Pettis Theorem’ przyjęła się ze względu na wagę twierdzenia w sformułowaniu (ii) dla teorii miar wektorowych, w której to formie twierdzenie pierwszy podał Pettis. Sam Pettis i Grothendieck mówią jeszcze o twierdzeniu Orlicza.

Twierdzenia typu Orlicza-Pettisa

Twierdzenie Orlicza-Pettisa było wielokrotnie uogólniane i wzmacniane. Pojęcie podszeregowej zbieżności, przy tej samej definicji, ma sens zastępując przestrzeń lokalnie wypukłą przez topologiczną grupę abelową Na dane są dwie topologie grupowe Hausdorffa takie, że jest słabsza niż tzn. Przy jakich założeniach -podszeregowa zbieżność pociąga -podszeregową zbieżność? Wczesnym przeglądem badań w tym kierunku jest artykuł Kaltona[10]. Jako wynik znamienny, Kalton przytacza ‘Graves-Labuda-Pachl Theorem’[11][12][13].

Twierdzenie. Niech abelowa grupa topologiczna będzie ciągowo zupełna i taka, że identyczność jest uniwersalnie mierzalna. Wtedy podszeregowa zbieżność w sensie i jest równoważna.

Jako wniosek, gdy grupa jest ciągowo zupełna i K-analityczna, teza twierdzenia obowiązuje dla każdej hausdorffowej topologii słabszej niż Wynik ten uogólnia analogiczne twierdzenie dla ciągowo zupełnej analitycznej grupy [14] (w oryginalnym sformułowaniu twierdzenia Andersena-Christensena brakuje założenia ciągowej zupełności[15]) oraz odpowiednie twierdzenie Kaltona[16] dla grupy polskiej, które tę serię wyników zapoczątkowało.

Ograniczenia na tego rodzaju wyniki podają przykłady ‘gwiazdka słabej’ topologii dla przestrzeni Banacha oraz przykłady F- przestrzeni z separującą przestrzenią dualną takie, że słaba (tzn. ) podszeregowa zbieżność nie pociąga podszeregowej zbieżności w sensie F-normy przestrzeni [17][18].

Przypisy

  1. ↑ W. Orlicz, Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II, „Studia Math.” 1 (1929), s. 241–255.
  2. ↑ Théorie des opérations linéaires, Monografje matematyczne, Warszawa 1932; Oeuvres. Vol. II}, PWN, Warszawa 1979.
  3. ↑ B.J. Pettis, On integration in vector spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 44 (1938), s. 277–304.
  4. ↑ N. Dunford, Uniformity in linear spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 44 (1938), s. 305–356.
  5. ↑ W. Filter and I. Labuda, [1], Essays on the Orlicz-Petts theorem, I (The two theorems), „Real Analysis Exchange” 16(2), 1990–1991, s. 393–403.
  6. ↑ W. Orlicz, O szeregach doskonale zbieżnych w pewnych przestrzeniach funkcyjnych, „Commentationes Math. (Prace Mat.)” 1 (1955), s. 393–414.
  7. ↑ A. Grothendieck, Sur les applications linéaires faiblement compacts d’espaces du type C(K), „Canadian J. Math.” 3 (1953), s. 129–173.
  8. ↑ C.W. McArthur On a theorem of Orlicz and Pettis, „Pacific J. Math.” 22 (1967), s. 297–302.
  9. ↑ A.P. Robertson, On unconditional convergence in topological vector spaces, „Proc. Roy. Soc. Edinburgh A”, 68 (1969), s. 145–157.
  10. ↑ Nigel Kalton, The Orlicz-Pettis theorem, „Contemporary Mathematics” 2 (1980), s. 91–100.
  11. ↑ I. Labuda, [2] Universal measurability and summable families in topological vector spaces, „Indag. Math. (N.S.)” 82(1979), s. 27–34.
  12. ↑ J.K. Pachl, A note on the Orlicz-Pettis Theorem, [3] „Indag. Math. (N.S.)” 82 (1979), s. 35-37.
  13. ↑ W.H. Graves, [4] Universal Lusin measurability and subfamily summable families in Abelian topological groups, „Proc. Amer. Math. Soc.”, 73 (1979), s. 45–50.
  14. ↑ N.J.M. Andersen, J.P.R. Christensen, Some results on Borel structures with applications to subseries convergence in Abelian topological groups, „Israel J. Math.” 15 (1973), s. 414–420.
  15. ↑ I. Labuda [5], Measure, Category and Convergent Series, „Real Anal. Exchange”, 32(2) (2017), s. 411–428.
  16. ↑ N.J. Kalton, [6] Subseries convergence in topological groups and vector measures, „Israel J. Math.” 10 (1971), s. 402–412.
  17. ↑ M. Nawrocki, [7] On the Orlicz-Pettis property in non-locally convex F-spaces, „Proc. Amer. Math. Soc.” 101(1987), s. 492–496.
  18. ↑ M. Nawrocki, [8] The Orlicz-Pettis theorem fails for Lumer’s Hardy spaces „Proc. Amer. Math. Soc.”, 109 (1990), s. 957–963.

Bibliografia

  • Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach space theory. Wyd. 2. Springer, 2016. ISBN 978-3-319-31555-3.
  • Andrzej Alexiewicz: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
  • Joe Diestel, Jerry Uhl, Jr.: Vector measures. Providence, R.I: American Mathematical Society, 1977, s. 22–23. ISBN 0-8218-1515-6.