Twierdzenie Poissona

Ten artykuł od 2011-08 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do wiarygodnych źródeł. (Dodanie listy źródeł bibliograficznych lub linków zewnętrznych nie jest wystarczające). Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Twierdzenie Poissona dostarcza dobrego przybliżenia uzyskania konkretnej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego w przypadku, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest małe oraz iloczyn prawdopodobieństwa sukcesu i liczby prób dąży do pewnej stałej.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle B_{n}}$ będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych ${\displaystyle B(n,p_{n}).}$ Wówczas jeżeli

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ,}$

to

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\mathsf {P}}(B_{n}=k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}},}$

lub równoważnie

${\displaystyle B_{n}{\stackrel {D}{\longrightarrow }}X,X\sim \mathrm {Poiss} (\lambda )}$

Dowód

Z definicji rozkładu dwumianowego dostajemy, że

${\displaystyle {\mathsf {P}}(B_{n}=k)={\binom {n}{k}}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}.}$

Niech ${\displaystyle \lambda _{n}=np_{n}.}$ Wówczas ${\displaystyle \lambda _{n}\longrightarrow \lambda .}$ Mamy zatem

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\mathsf {P}}(B_{n}=k)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\left({\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}\right)\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}\\&={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot \lim _{n\to \infty }\underbrace {\left({\frac {n}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-2}{n}}\cdots {\frac {n-k+1}{n}}\right)} _{\to 1}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to e^{-\lambda }}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&={\frac {\lambda ^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda }}{k!}}\end{aligned}}}$^[1].

Uwaga

Można przeprowadzić dowód w inny sposób, używając funkcji charakterystycznej. Wystarczy wykazać, że funkcja charakterystyczna zmiennej ${\displaystyle B_{n}}$ dąży do funkcji charakterystycznej rozkładu Poissona o stałej ${\displaystyle \lambda {:}}$

jeśli ${\displaystyle X\sim \mathrm {Poiss} (\lambda ),}$ to ${\displaystyle {\mathsf {P}}(X=k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}.}$

Komentarz

Twierdzenie Poissona podobnie jak centralne twierdzenie graniczne służy do opisywania sum niezależnych zmiennych losowych. Różnica między tymi twierdzeniami polega na tym, że centralne twierdzenie graniczne mówi nam o sytuacjach, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest umiarkowane, a twierdzenie Poissona opisuje sytuacje, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest małe. Dobrym przykładem sytuacji, w której warto stosować twierdzenie Poissona do oszacowań, jest prawdopodobieństwo wygrania dużej kwoty na loterii.

Przypisy

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.